LA 4119 Always an integer (数学)

LA 4119 Always an integer

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题目大意:

给定一个形如(P)/D的多项式,其中P是若干个形如Cn^E的项之和,判断他是否在所有正整数处取到整数值.
其中系数C和次数E满足如下条件:
1.E是满足0<=E<=100的整数.若E=0,则Cn^E写成C;若E=1,则Cn^E写成Cn,但当C=±1时除外(C=1时,写成n;C=-1时,写成-n).
2.C为整数.若C=±1,且E不是0或者1,则Cn^E写成n^E或者-n^E.
3.只有不在第一项的非负C前面有加号.
4.E数值严格递减.
5.C和D都在32位带符号整数范围内.

题目分析:

首先考虑如何判断该多项式是否总是整数.
可以先举例观察,设最高次数为k:
当k=0时,P为常量,求出P(1)即可.
当k=1时,P是n的一次多项式,设P=an+b,则有P(2)-P(1)=a.此时将{P(n)}看成一个数列,首项为P(1),公差为a=P(2)-P(1).所以只要求出P(1),P(2)就可以判断了.
当k=2时,P是n的二次多项式,设P=an^2+bn+c,则有P(n+1)-P(n)=2an+a+b,根据在k=1中求出的结论,也只要判断n=1和n=2能被D整除即可.也就是要求P(1),P(2),P(3)三项即可.
有数学归纳法就可以得到,对于一个最高次为k的多项式而言,只需要判断当n=1~k+1时,能否有P(n)整除D,就可以判断了.

当然此题还有一个问题——输入问题,先考虑P,因为P中每个单项式C和E都是有可能没有的,可以选择以n为分解来考虑.

代码:

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int maxn=100+5;
const int maxl=2000+10;
const char* output[]={"Not always an integer","Always an integer"};

void getnum(char* s,int& pos,int& c,int& e)//c*n^e 一次性读取c和e两数 
{
    int flag=1;c=e=0;
    while((s[pos]<'0'||s[pos]>'9')&&s[pos]!='n') if(s[pos++]=='-') flag=-1;
    while(s[pos]>='0'&&s[pos]<='9') c=c*10+s[pos]-'0',++pos;
    if(!c) c=1; c*=flag;//若没有读到c |c|=1 
    int have=0;//若没有读到e 有'n',e=1 没有'n',e=0 
    if(s[pos]=='n') {
        have=1,++pos;
        if(s[pos]=='^') ++pos;
        while(s[pos]>='0'&&s[pos]<='9') e=e*10+s[pos]-'0',++pos;
    }
    if(!e) e=have; --pos;
}

int C[maxn],maxe,D,kase=0;

bool check(int n)
{
    int ans=0,p=1;//可以选择不用快速幂,递推求n的各次幂 
    for(int e=0;e<=maxe;e++,p=(1ll*p*n)%D)
        if(C[e]) ans=(0ll+ans+1ll*C[e]*p)%D;
    return ans==0;
}

void solve()
{
    int always=1;//从1到maxe+1依次判断 
    for(int i=1;i<=maxe+1;i++) if(!check(i)) {always=0;break;}
    printf("Case %d: %s\n",++kase,output[always]);
}

char buf[maxl];

bool input()
{
    scanf("%s",buf);
    if(buf[0]=='.'&&buf[1]=='\0') return false;//结束标志 
    memset(C,0,sizeof(C));
    int i,c,e;maxe=D=0;
    for(i=0;buf[i]!=')';i++) {//选择两个两个读入 
        getnum(buf,i,c,e);
        C[e]+=c;maxe=max(maxe,e);
    }
    i+=2;//最后读入D 
    while(buf[i]>='0'&&buf[i]<='9') D=D*10+buf[i]-'0',++i;
    return true;
}

int main()
{
    while(input()) solve();
    return 0;
}