2021牛客寒假算法基础集训营5【解题报告】

最新推荐文章于 2023-04-07 16:47:36 发布

原创

最新推荐文章于 2023-04-07 16:47:36 发布 · 554 阅读

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本文涵盖了多个图论问题的解决方案，包括寻找最短路径、序列构造、树上博弈、石子游戏和树的染色问题。涉及动态规划、二分查找、记忆化搜索、优先队列和并查集等算法。通过对每个问题的详细分析和高效代码实现，展示了如何运用图论知识解决实际问题。

A 美丽的路径

题目描述

叶妹妹非常喜欢图论题，这天她出了一个图论题，有一个nn个点mm条边的无向图，其中第ii个点的点权为 $a_i$ ，她定义一条点数为 $k$ 路径： $b_1$ ， $b_2$ ，…， $b_k$ ；其中点 $b_{i-1}$ 与点 $b_i$ 通过一条边直接相连 $(2\le i\le k)$ ，所以路径中可以出现重复的点。她将一条路径的美丽值定义为：假设这条路径的点数为 $k$ ，那么这条路径的美丽值就是此路径上的所有点的点权中第 $\lfloor k/2+1 \rfloor$ 小的点权。现在她会询问你是否存在起点为 $s$ 号点并且终点为 $t$ 号点的路径，如果存在则先输出 $Y E S$ ，再输出存在的所有路径中的最大的美丽值；否则直接输出 $N O$ 。

输入描述:

有多组样例，第一行输入一个数TT，表述样例组数

对于每组样例，第一行先输入四个数 $n ， m ， s ， t$ ，保证 $1\le s\le n，1\le t\le n$

第二行输入 $n$ 个数，其中第 $i$ 个数为 $a_i$ ，表示第 $i$ 个点的点权

接下来输入 $m$ 行，第 $i$ 行输入两个数 $x_i$ 和 $y_i$ ，表示点 $x_i$ 与点 $y_i$ 之间有一条无向边，保证 $1\le x_i\le n，1\le y_i\le n$
【数据规模与约定】

$1\le T\le10，1\le n\le 2*10^5，0\le m\le2*10^5，1\le a_i\le10^9$

输出描述:

如果存在起点为 $s$ 号点并且终点为 $t$ 号点的路径，则第一行输出 $Y E S$ ，第二行输出存在的所有的路径中的最大的美丽值；否则直接输出 $N O$

分析：

首先，如果不存在从 $s$ 到 $t$ 的路径，则直接输出 $N O$ .

否则，二分最大美丽值，问题就变成了询问是否存在从 $s$ 到 $t$ 的路径，且这条路径点权的中位数大于等于 $m i d$ .

在 $s$ 到 $t$ 的路径中，如果存在两个相邻的点且他们的点权都大于等于 $m i d$ ，那么我们可以在这两个点之间来回走，使得最终路径的中位数大于等于 $m i d$ .

在 $s$ 到 $t$ 的路径中，如果不存在两个相邻的点且他们的点权都大于等于 $m i d$ ，那为了使得路径美丽值大于等于 $m i d$ ，最终路径一定是 “点权大于等于 $m i d$ 的点” 与 “点权小于 $m i d$ 的点” 交替走，且起点终点的点权不能同时小于 $m i d$ .

代码实现：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef double db;
typedef long double ldb;

const int M = (int)2e5;
const int N = (int)2e2;
const ll inf = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const double eps = 1e-6;
const ll mod = (ll)998244353;

int n, m, s, t;
int cnt, head[M + 5];
struct enode
{
   
   
    int v, nx;
} Edge[M * 2 + 5];

int a[M + 5];
bool vis[M + 5];
bool vis2[M + 5];

void init()
{
   
   
    cnt = 0;
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
    {
   
   
        head[i] = -1;
        vis[i] = 0;
    }
}

void add(int u, int v)
{
   
   
    Edge[cnt].v = v;
    Edge[cnt].nx = head[u];
    head[u] = cnt++;
}

void dfs1(int u)
{
   
   
    for(int i = head[u]; ~i; i = Edge[i].nx)
    {
   
   
        int v = Edge[i].v;
        if(vis[v]) continue;
        vis[v] = 1;
        dfs1(v);
    }
}

void dfs2(int u, int mid)
{
   
   
    for(int i = head[u]; ~i; i = Edge[i].nx)
    {
   
   
        int v = Edge[i].v;
        if(vis2[v]) continue;
        if(a[u] >= mid && a[v] < mid || a[u] < mid && a[v] >= mid)
        {
   
   
            vis2[v] = 1;
            dfs2(v, mid);
        }
    }
}

bool check(int mid)
{
   
   
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
    {
   
   
        if(vis[i] && a[i] >= mid)
        {
   
   
            for(int j = head[i]; ~j; j = Edge[j].nx)
            {
   
   
                if(a[Edge[j].v] >= mid) return 1;
            }
        }
    }

    if(a[s] < mid && a[t] < mid) return 0;
    for(int i = 1; i <= n; ++i) vis2[i] = 0;
    vis2[s] = 1; dfs2(s, mid);
    return vis2[t];
}

int read()
{
   
   
    int x = 0, f = 1;
    char ch = getchar();
    while(!isdigit(ch))
    {
   
   
        if(ch == '-') f = -1;
        ch = getchar();
    }
    while(isdigit(ch))
    {
   
   
        x = x * 10 + ch - '0';
        ch = getchar();
    }
    return x * f;
}

void work()
{
   
   
    n = read(); m = read(); s = read(); t = read(); init();
    for(int i = 1; i <= n; ++i) a[i] = read();
    for(int i = 1, u, v; i <= m; ++i)
    {
   
   
        u = read(); v = read();
        add(u, v), add(v, u);
    }
    vis[s] = 1; dfs1(s);
    if(!vis[t]) {
   
   printf("NO\n"); return;}
    int l = 1, r = (int)1e9, mid;
    while(l < r)
    {
   
   
        mid = (l + r + 1) >> 1;
        if(check(mid))  l = mid;
        else            r = mid - 1;
    }
    printf("YES\n%d\n", r);
}

int main()
{
   
   
//    freopen("input.txt", "r", stdin);
//    freopen("output.txt", "w", stdout);
    int T; scanf("%d", &T);
    while(T--) work();
//    work();
//    cerr << 1.0 * clock() / CLOCKS_PER_SEC << "\n";
    return 0;
}

B 比武招亲（上）

题目描述

众所周知，天姐姐只喜欢天下最聪明的人，为了找到这样的人，她决定比武招亲！

只见天姐姐在榜上留下了这样一道问题，谁做出来了就可以俘获她的芳心！

爱慕天姐姐已久的泽鸽鸽问询赶来，只见榜上写着：

给定 n,mn,mn,m，定义一种序列，构造方法如下：

$1 .$ 在 $[1, n]$ 中任意选择 $m$ 次，得到了 $m$ 个整数（显然数字可能相同）;

$2 .$ 将选出的 $m$ 个数字排序之后得到一个序列 ${a_1,a_2,...,a_m}$ 。

定义一个序列的贡献为 $max\{a_1,a_2,...,a_m\}−min\{a_1,a_2,...,a_m\}$

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