GCD - Extreme (II) （UVA - 11426，欧拉函数）

UVA-11426 数论题解

最新推荐文章于 2023-01-26 22:23:01 发布

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本文详细解析UVA-11426题目的解题思路，探讨如何快速计算F[n]，并分享了一种通过计算gcd(x,j)=i时对F[]的贡献的方法，复杂度为O(nlogn)。文中提供了C++代码实现，利用Euler函数预处理求解。

一.题目链接：

UVA-11426

二.题目大意：

$\sum_{i = 1}^{N}\sum_{j = i +1}^{N}gcd(i, j)$

三.分析：

贴一个聚聚的题解，自然不是我这般蒟蒻能想到的...

还有一点困扰了我好久，就是该如何快速的计算 F[n].

如聚聚博客中写到 $F[n]=\sum i\phi(\frac{n}{i})$

本蒟蒻只想到了 $O(N^2)$ 的复杂度计算 F[]，被自己蠢哭 _(:3」∠)_

正解是分别计算当 gcd(x, j) = i 时对 F[] 的贡献，易得 i | j，复杂度为 $O(NlnN)$

四.代码实现：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;

const int M = (int)4e6;

bool is_prime[M + 5];
int cnt, prime[M + 5];
int phi[M + 5];
ll sum[M + 5];

void init()
{
    cnt = 0;
    memset(is_prime, 1, sizeof(is_prime));
    is_prime[0] = is_prime[1] = 0;
    for(int i = 2; i <= M; ++i)
    {
        if(is_prime[i])
        {
            prime[++cnt] = i;
            phi[i] = i - 1;
        }
        for(int j = 1; j <= cnt && i * prime[j] <= M; ++j)
        {
            is_prime[i * prime[j]] = 0;
            if(i % prime[j] == 0)
            {
                phi[i * prime[j]] = phi[i] * prime[j];
                break;
            }
            phi[i * prime[j]] = phi[i] * (prime[j] - 1);
        }
    }
}

int main()
{
    init();
    for(int i = 1; i <= M; ++i)
    {
        for(int j = 2 * i; j <= M; j += i)
        {
            sum[j] += 1ll * i * phi[j / i];
        }
    }
    for(int i = 1; i <= M; ++i)
        sum[i] += sum[i - 1];
    int n;
    while(~scanf("%d", &n) && n)
    {
        printf("%lld\n", sum[n]);
    }
    return 0;
}