XOR和路径（HYSBZ - 2337 ，高斯消元解后效性 DP）

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/The___Flash/article/details/104101439

本文探讨了在无向边权图中，每个节点等概率选择一条边时，1~n路径的权值异或和的期望值计算方法。通过二进制位逐位分析，结合高斯消元算法，提出了一种有效的解决方案。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

一.题目链接：

HYSBZ-2337

二.题目大意：

给一张无向边权图，在每个节点都会等概率地选择一条边，求 1 ~ n 路径的权值异或和的期望值.

三.分析：

由于是异或，不妨按答案的二进制位逐位考虑.

假设当前考虑第 i 位

设 dp[u] 表示 u ~ n 路径的权值异或和二进制第 i 位的期望值.

设 v 是与顶点 u 相关联的顶点集合，de[u] 表示 u 的度, wi(u, v) 表示 u 与 v 之间边的二进制第 i 位.

可得： $dp[u] = \frac{\sum_{v_{j} \in v , \; w_{i}(u, v_{j}) = 1}(1 - dp[v_{j}]) + \sum_{v_j \in v , \; w_{i}(u, v_{j}) = 0} dp[v_{j}]}{de[u]}$

剩下的高斯消元套上模板就好啦.

最后答案等于 $\sum 2^{i}dp[1]$

四.代码实现：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int M = (int)1e4;
const int N = (int)1e2;

int cnt;
int head[N + 5];
struct node
{
    int v, w, nx;
}Edge[M * 2 + 5];

int de[N + 5];
double a[N + 5][N + 5];

void init(int n)
{
    cnt = 0;
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        head[i] = -1;
    }
}

void add(int u, int v, int w)
{
    Edge[cnt].v = v;
    Edge[cnt].w = w;
    Edge[cnt].nx = head[u];
    head[u] = cnt++;
}

void Gauss(int n)
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int r=i;
        for(int j=i+1;j<=n;j++) if(fabs(a[r][i])<fabs(a[j][i])) r=i;
        if(r!=i) for(int j=1;j<=n+1;j++) std::swap(a[r][j],a[i][j]);
        double t=a[i][i];
        for(int j=i+1;j<=n+1;j++) a[i][j]/=t;
        for(int j=1;j<=n;j++)
        if(i!=j)
        {
          double t=a[j][i];
          for(int k=1;k<=n+1;k++) a[j][k]-=t*a[i][k];
        }
    }
}

double work(int n)
{
    double ans = 0.0;
    for(int i = 0; i < 30; ++i)
    {
        memset(a, 0, sizeof(a));
        for(int u = 1; u < n; ++u)
        {
            a[u][u] = 1.0;
            for(int j = head[u]; ~j; j = Edge[j].nx)
            {
                int v = Edge[j].v;
                int w = Edge[j].w;
                if((w>>i) & 1)
                    a[u][v] += 1.0 / de[u], a[u][n + 1] += 1.0 / de[u];
                else
                    a[u][v] -= 1.0 / de[u];
            }
        }
        a[n][n] = 1.0;
        Gauss(n);
        ans += (1<<i) * a[1][n + 1];
    }
    return ans;
}

int main()
{
    int n, m;
    scanf("%d %d", &n, &m);
    init(n);
    for(int i = 0, u, v, w; i < m; ++i)
    {
        scanf("%d %d %d", &u, &v, &w);
        add(u, v, w), de[u]++;
        if(u != v)  add(v, u, w), de[v]++;
    }
    printf("%.3f\n", work(n));
    return 0;
}