277. 饼干（算法竞赛进阶指南，线型 DP + 贪心 + 打印最优解）

一.题目链接：

饼干

二.题目大意：

圣诞老人共有M个饼干，准备全部分给N个孩子。

每个孩子有一个贪婪度，第 i 个孩子的贪婪度为 g[i]。

如果有 a[i] 个孩子拿到的饼干数比第 i 个孩子多，那么第 i 个孩子会产生 g[i]*a[i]的怨气。

给定N、M和序列g，圣诞老人请你帮他安排一种分配方式，使得每个孩子至少分到一块饼干，并且所有孩子的怨气总和最小。

三.分析：

由排序不等式得：贪婪度越高，所分配给的饼干应该越多，此时怨气总和最小.

因此先对贪婪度从大到小排序，这样每个人所获得的饼干数是递减的.

设 dp[i][j]：处理了前 i 个人，分发了 j 块饼干，的最小怨气和.

1. 考虑当前状态 i 个人，分发了 j 块饼干

 如果第 i 个人获得的饼干数 > 1，则次状态等价于分配给 j - i 块饼干给前 i 个人，

相当于每个人都少那一块饼干，获得饼干的相对数目大小不变，从而怨气和也不变.

即：dp[i][j] = dp[i][j - i]

2. 若第 i 个人的饼干数等于 1，则枚举共有多少个人的饼干数等于 1

即：dp[i][j] = min(dp[i - k][j - k] + k * (s[i] - s[i - k])

答案为 dp[n][m]

 

这里还要打印最优方案，由于记录前驱的方法不易求解，于是采用倒退的方法.

大体就是根据饼干个数相对大小的不变性，先将第 i 个人的饼干数缩放到 1，同时记录基值（口胡的词）

然后枚举与 i 饼干数相等的人数即可.

 

有的题目可用记录前驱状态的方法求解最优方案，不过对于高维 dp 来讲可能会 MLE

因此可根据数据大小用二进制存储，极大地减少了存储量.

四.代码实现：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = (int)30;
const int M = (int)5e3;
const int inf = 0x3f3f3f3f;

int n, m;
struct node
{
    int f, s;
}g[N + 5];
int s[N + 5];
int dp[N + 5][M + 5];
int ans[N + 5];

bool cmp(node a, node b)
{
    return a.f > b.f;
}

void work()
{
    scanf("%d %d", &n, &m);
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        scanf("%d", &g[i].f);
        g[i].s = i;
    }
    sort(g + 1, g + n + 1, cmp);
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
        s[i] = s[i - 1] + g[i].f;
    memset(dp, inf, sizeof(dp));
    dp[0][0] = 0;
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        for(int j = 1; j <= m; ++j)
        {
            if(j < i)
                continue;
            dp[i][j] = dp[i][j - i];
            for(int k = 1; k <= i; ++k)
                dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i - k][j - k] + (s[i] - s[i - k]) * (i - k));
        }
    }
    printf("%d\n", dp[n][m]);
    int i = n, j = m, h = 0;
    while(i)
    {
        if(dp[i][j] == dp[i][j - i])
            j -= i, ++h;
        else
        {
            for(int k = 1; k <= i; ++k)
            {
                if(dp[i][j] == dp[i - k][j - k] + (s[i] - s[i - k]) * (i - k))
                {
                    for(int u = 0; u <= k; ++u)
                        ans[g[i - u].s] = h + 1;
                    i -= k, j -= k;
                    break;
                }
            }
        }
    }
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
        printf("%d%c", ans[i], i == n ? '\n' : ' ');
}

int main()
{
    work();
    return 0;
}