1831: [AHOI2008]逆序对

最新推荐文章于 2023-05-08 04:52:04 发布

Tgotp

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本文介绍了一种针对特定序列的逆序对优化算法，通过预处理前后缀统计信息，实现对含-1标记序列的逆序对快速计算，并提供C++实现代码。

首先观察-1之间的关系。

发现 -1之间最终一定是一个不下降序列

假设两个位置x,y为-1,分别取值a,b 且a < b

令num1[i][j]为i前大于j的数量

令num2[i][j]为i后小于j的数量

考虑x = a y = b 那么区间逆序对为 num1[x][a] + num2[x][a] + num1[y][b] + num2[y][b]

而大于的这一部分均来源于区间(a,b)

考虑x = b y =a 那么区间逆序对为 num1[x][b] + num2[x][b] + num1[y][a] + num2[y][a] + 1

简单观察就会发现

num1[x][a] <= num1[y][a],

num2[x][a] <= num2[x][b],

num1[y][b] <= num1[y][a],

num2[y][b] <= num1[x][b].

即交换顺序后.(x = a,y = b)一定优于(x = b,y = a)

接下来考虑得出答案

对于ai != -1的情况，直接求出其后大于他的数（不考虑ai == -1的数）

对于ai == 1的情况，那么选出最优的取值x满足对于任意取值y num1[i][x] + num2[i][x] < num1[i][y] + num2[i][y]

然后递推一遍即可求出答案.

c++代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
#define rep(i,x,y) for(register int i = x ; i <= y; ++ i)
#define repd(i,x,y) for(register int i = x ; i >= y; -- i)
using namespace std;
typedef long long ll;
template<typename T>inline void read(T&x)
{
	x = 0;char c;int sign = 1;
	do { c = getchar(); if(c == '-') sign = -1; }while(!isdigit(c));
	do { x = x * 10 + c - '0'; c = getchar(); }while(isdigit(c));
	x *= sign;
}

const int N = 1e4+500;
int a[N],sum1[N][101],sum2[N][101],n,k,ans;

int main()
{
	read(n); read(k);
	rep(i,1,n) read(a[i]);
	rep(i,1,n)
	{
		memcpy(sum1[i],sum1[i - 1],sizeof sum1[i]);
		if(a[i] != -1) rep(j,1,a[i]) sum1[i][j]++;
	}
	repd(i,n,1)
	{
		memcpy(sum2[i],sum2[i + 1],sizeof sum2[i]);
		if(a[i] != -1) rep(j,a[i],k) sum2[i][j]++;
	}
	
	int lst = 1;
	rep(i,1,n)
		if(a[i] == -1)
		{
			rep(j,lst,k)
				if(sum1[i][j + 1] + sum2[i][j - 1] < sum1[i][lst + 1] + sum2[i][lst - 1])
					lst = j;
			ans += sum1[i][lst + 1] + sum2[i][lst - 1];
		}else ans += sum2[i][a[i] - 1];
	
	cout << ans << endl;
	
	return 0;
}