(bzoj 1831: [AHOI2008]逆序对)<DP>

本文介绍了一种计算含未知数的序列中逆序对最小数量的方法。通过动态规划及预处理技巧,实现了高效的求解算法。文章详细阐述了算法原理,并提供了完整的C++代码实现。

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题目

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Description

小可可和小卡卡想到Y岛上旅游,但是他们不知道Y岛有多远。好在,他们找到一本古老的书,上面是这样说的: 下面是N个正整数,每个都在1~K之间。如果有两个数A和B,A在B左边且A大于B,我们就称这两个数为一个“逆序对”。你数一数下面的数字里有多少个逆序对,你就知道Y岛离这里的距离是多少千米了。 比如说,4 2 1 3 3里面包含了5个逆序对:(4, 2), (4, 1), (4, 3), (4, 3), (2, 1)。 可惜的是,由于年代久远,这些数字里有一部分已经模糊不清了,为了方便记录,小可可用“-1”表示它们。比如说,4 2 -1 -1 3 可能原来是4 2 1 3 3,也可能是4 2 4 4 3,也可能是别的样子。 小可可希望知道,根据他们看清楚的这部分数字,能不能推断出这些数字里最少能有多少个逆序对。

Input

第一行两个正整数N和K。第二行N个整数,每个都是-1或是一个在1~K之间的数。

Output

一个正整数,即这些数字里最少的逆序对个数。

Sample Input

5 4

4 2 -1 -1 3

Sample Output

4

HINT

4 2 4 4 3中有4个逆序对。当然,也存在其它方案得到4个逆序对。

数据范围:

100%的数据中,N<=10000,K<=100。
60%的数据中,N<=100。
40%的数据中,-1出现不超过两次。

  • 首先可以证明所填入的书应该是递增的。其实也没必要证来证去,肯定后面的大一点更好
  • 所以我们想知道当第i个位置填的数是j时,上一个空位填1~j的情况,然后取最小,再加上此时会形成的逆序对数就行了
  • 主要的思路太简单 >_>,看别人的博客吧
  • 说一些实现的技巧:
    1. 可以预处理“此时会形成的逆序对数”
    2. 可以用一个数组记录“上一个空位填1~j的情况”
    3. 防止重复

代码

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int N=10010,K=110;
int n,k;
int a[N],tot,pos[N];
int c1[N][K],c2[N][K];
int f[N][K],g[N][K];
int ans=0x3f3f3f3f;

int main(){
    scanf("%d%d",&n,&k);
    for(int i=1;i<=n;++i){
        scanf("%d",&a[i]);
        if(a[i]==-1){
            tot++;
            pos[tot]=i;
        }
    } 
    for(int i=1;i<=n;++i)
        for(int j=1;j<=k;++j){
            c1[i][j]=c1[i-1][j];
            if(a[i]>j) c1[i][j]++;
        }
    for(int i=n;i>=1;--i)
        for(int j=1;j<=k;++j){
            c2[i][j]=c2[i+1][j];
            if(a[i]<j&&a[i]!=-1) c2[i][j]++;
        }
    for(int i=1;i<=tot;++i){
        f[i][1]=g[i-1][1]+c1[pos[i]][1]+c2[pos[i]][1];
        g[i][1]=f[i][1];
        for(int j=2;j<=k;++j){
            f[i][j]=g[i-1][j]+c1[pos[i]][j]+c2[pos[i]][j];
            g[i][j]=min(g[i][j-1],f[i][j]);
        }
    }
    for(int i=1;i<=k;++i)
        ans=min(ans,f[tot][i]);
    for(int i=1;i<=n;++i)
        if(a[i]!=-1)
            ans+=c1[i][a[i]];
    cout<<ans;
    return 0;
}
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