有限差分法求解平流方程ut = - c * ux 的Lax方法
在这篇文章中,我们将介绍使用有限差分法(Finite Difference Method)来求解平流方程ut = - c * ux,其中c是一个常数,u是一维空间的函数,时间t也是该函数的一个参数。我们采用经典的Lax方法来处理时间导数,并且假设恒定速度。
平流方程是一种基本的偏微分方程,在气象学、流体力学等领域广泛应用。有限差分法是一种常见的数值求解方法,可将偏微分方程转化为差分方程进行离散化处理,以便计算机进行计算。
设有一个区间[a, b],在这个区间上,我们可以将u划分为N个小区间并记录每个小区间的值。由于我们使用Lax方法,因此需要两个时刻级别的差分方程:一个时刻级别的差分方程和上一个时刻级别的差分方程。用下标n表示当前时刻级别,n+1表示下一个时刻级别。我们定义间隔Δx = (b-a) / N,Δt为时间步长。
根据Lax方法,我们可以获得如下的差分方程:
(u[i][n+1] - 0.5*(u[i+1][n] + u[i-1][n])) / Δt = -c * (u[i+1][n] - u[i-1][n]) / (2*Δx)
在上面的式子中,u[i][n+1]表示时间为n+1时刻级别上i处的u值;u[i+1][n]和u[i-1][n]是时间为n时刻级别上相邻点的u值,Δx是空间分辨率。
通过对上述方程进行简单的代数运算,我们可以得到如下的差分方程:
u[i][n+1] = 0.5 * (u[i+1][n] + u[i-1][n]) - 0.5 * c * (Δt/Δx) * (u[i+1][n] - u[i-1][n])
这个方程可以用于计算时间级别