R语言 元正态分布参数的最大似然估计

R语言 元正态分布参数的最大似然估计

最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation，简称MLE）是一种常用的参数估计方法，可以用于估计元正态分布（Elliptical Normal Distribution）的参数。元正态分布是多变量正态分布的一种扩展，广泛应用于统计建模和数据分析中。本文将详细介绍如何使用R语言进行元正态分布参数的最大似然估计，并提供相应的源代码示例。

首先，让我们了解一下元正态分布的定义和参数。元正态分布是指具有椭球形轮廓的多变量正态分布。它的概率密度函数（Probability Density Function，简称PDF）可以表示为：

f(x; μ, Σ, ν) = c(ν, Σ)^(-1/2) * [1 + (x - μ)'Σ^(-1)(x - μ)/ν]^(-(ν+p)/2)

其中，x是一个p维向量，μ是p维均值向量，Σ是p×p维协方差矩阵，ν是自由度参数，c(ν, Σ)是一个与ν和Σ相关的归一化常数。

接下来，我们将使用R语言中的mle()函数实现元正态分布参数的最大似然估计。首先，我们需要定义元正态分布的对数似然函数。对数似然函数可以简化计算并避免数值溢出。对于元正态分布，对数似然函数可以表示为：

log_likelihood <- function(params, data) {
  mu <- params[1:p]  # 均值向量
  Sigma <- diag(params[(p+1):(p+p)])  # 协方差矩阵的对角线元素（标准差）
  nu <-