因果推断学习笔记二

因果推断区别于传统的相关性研究很重要的一点是潜在结果框架, 也就是我们今天的topic所要涵盖的内容。今天的session我们将会cover以下几个话题：

1. 什么是潜在结果

2. 因果推断的核心问题

3. 对于核心问题的讨论和答案

4. 完整的实例

一、潜在结果

研究treatment对于结果的影响，我们想要同时知道同等条件下，不同treatment下的结果，从而能够得出结论，treatment的改变是否会导致结果的不同

例如
a) 吃药不吃药对于头痛个体(吃药前头痛)的影响

1. 不吃药头痛， 吃药之后不头痛：有因果效应
2. 不吃药不头痛，吃药后不头痛：没有因果效应

1.1 符号说明

我们先约定一下此次课程中所提到的符号，借助这些符号，把上面的因果效应的讨论抽象成数学公式。

随机变量$X$表示$d$维的协变量(covariate)

$T$表示干预(treatment)
$Y$表示观测到的结果(observed outcome)，我们今天讨论的是二元treatment，也就是$T=0$或者$T=1$

$i$表示第$i$个样本(sample/unit/individual)

$Y_i(T)$表示对于样本$i$来说接受treatment T之后的潜在结果(potential outcome)，比如$Y_i(1),Y_i(0)$

$Y_i(1)-Y_i(0)$表示因果效应

1.2 因果推断的核心问题

对于潜在结果，{ Yi(1),Yi(0)}\{Y_i(1), Y_i(0)\}{ Yi​(1),Yi​(0)}中只会有一个被观测到，因果效应ground truth缺失。实际观测到的结果，只可能是潜在结果中唯一的一个，被称为factual outcome，另一个观测不到的被称为counterfactual。例如前面的例子中提到的对于一个头痛个体，treatment只能二选一，而不能同时给予两个treatment，

      i.   吃药，factual是吃药的结果

      ii.  不吃药，factual是不吃药带来的结果

再举个例子🌰：

滴滴向用户随机发送推荐短信(干预)，用户要么收到短信，要么收不到，这时候用户的反应，只能是其中一种情形下的结果，而不可能是两个结果。对于此短信的反应的实际结果只能依赖于二选一的干预，而不能看到干预和不干预下的用户分别的反应。


基于潜在结果模型，我们感兴趣的是平均因果效应(Average treatment effect，简记为ATE)

$$ATE:E[Y(1)-Y(0)]=E[Y(1)]–$$