飞行员配对方案问题

题目

飞行员配对方案问题

解题思路

选择算法

可以通过题目知道每个英国飞行员需要找到一个能和他匹配且没有被他人选择过的外籍飞行员。

这类寻找关系的题目网络流十分擅长，而且网络流的速度也较快，所以我们先思考如何跑网络流。

建图

首先思考建边，观察题目，我们先把英国飞行员和他能匹配的外籍飞行员之间连一条边：

emmm，可以看出这是一个标准的二分图，看不出的人建议放弃思考

既然是二分图，那么我们可以无脑加上源节点和汇节点。

就酱，这个网络流的边就建好了，接下来我们思考每条边的容量设置

设置容量

首先思考源节点S到其他节点的边的容量

从我们建图的角度来说，源节点S连接的都是英国飞行员。

而每个英国飞行员最多只能和一个外籍飞行员进行配对，所以流过英国飞行员所代表的点的流量最多只能为1。

于是我们将源节点S所连接的所有边的容量都设为1。

接着思考英国飞行员与外籍飞行员之间相连的边的容量

因为经过每个英国飞行员的流量都是1，所以无论怎么样从英国飞行员流到外籍飞行员的流量最多只有1。

于是我们就把英国飞行员到外籍飞行员之间相连的边的容量设为666老老实实地设为1。

最后思考汇节点T到其他节点的容量

这里与源节点S到其他节点的边的容量的思考过程几乎一样：

与T相连的都是外籍飞行员

每个外籍飞行员只能匹配一个英国飞行员，所以经过外籍飞行员且流到汇点T的流量最多为1

所以把这些边设为1

输出配对方案

首先我们可以确定，配对方案数就是我们最大流跑出来的结果

关于如何确定两个飞行员是否配对，我认为有一种很简单的方法。

直接把所有两个飞行员所代表的点之间的边找出来，接着直接判断：

如果我们找到的当前边容量为0，代表它被选择过了，边所连的节点就是被配对的飞行员所代表的点。

只不过要注意的是不要找反向边与和源点、汇点相连的边

时间效率

此处$N$指节点数，$M$指边数

二分图中Dinic时间效率为$O(\sqrt{N}M)$

找边输出配对方案数时间效率为$O(M)$

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e3 + 7;
const int M = 1e6 + 7;
const int INF = 2e9 + 7;
struct edge {
	int u,v,c,fail;
}e[M << 1];
int p[N],eid;
void init() {
	memset(p,-1,sizeof p);
	eid = 0;
}
void insert(int u,int v,int c) {
    e[eid].u = u;
	e[eid].v = v;
	e[eid].c = c;
	e[eid].fail = p[u];
	p[u] = eid ++;
}
void addedge(int u,int v,int c) {
	insert(u,v,c);
	insert(v,u,0);
}
int S,T;
int cur[N],dep[N];
queue<int> q;
bool bfs() {
	memset(dep,-1,sizeof(dep));
	dep[S] = 0; q.push(S);
	while(!q.empty()) {
		int u = q.front();
		q.pop();
		for(int i = p[u];i != -1;i = e[i].fail) {
			int v = e[i].v;
			if(e[i].c > 0 && dep[v] == -1) {
				dep[v] = dep[u] + 1;
				q.push(v);
			}
		}
	}
	return dep[T] != -1;
}
int dfs(int u,int flow) {
	if(u == T) {
		return flow;
	}
	int res = 0;
	for(int i = cur[u];i != -1;i = e[i].fail) {
		cur[u] = i;
		int v = e[i].v;
		if(e[i].c > 0 && dep[v] == dep[u] + 1) {
			int maxflow = dfs(v,min(flow,e[i].c));
			e[i].c -= maxflow;
			flow -= maxflow;
			res += maxflow;
			e[i ^ 1].c += maxflow;
			if(flow == 0) {
				break;
			}
		}
	}
	if(res == 0) {
		dep[u] = -1;
	}
	return res;
}
int dinic() {
	int res = 0;
	while(bfs()) {
		memcpy(cur,p,sizeof cur);
		res += dfs(S,INF);
	}
	return res;
}
int n,m,u,v;
int main() {
	init();
	scanf("%d%d",&n,&m);
	while(scanf("%d%d",&u,&v) && u != -1 && v != -1) {
		addedge(u,v,1);
	}
	S = 0,T = m + 1;
	for(int i = n + 1;i <= m;++ i) {
		addedge(i,T,1);
	}
	for(int i = 1;i <= n;++ i) {
		addedge(S,i,1);
	}
	printf("%d\n",dinic());
	for(int i = 0;e[i].v != T;i += 2) {
		if(e[i].c == 0) {
			printf("%d %d\n",e[i].u,e[i].v);
		} 
	} 
	return 0;
}

以上代码在洛谷上AC

其他做法

可见求二分图最大匹配的匈牙利算法