2015蓝桥杯垒骰子（动态规划+矩阵快速幂）

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本文介绍了一种使用矩阵快速幂解决大规模骰子堆叠计数问题的方法。通过定义动态转移方程，利用六阶矩阵表示骰子之间的堆叠可能性，并采用矩阵快速幂算法高效求解第n个骰子的状态数量。

解题思路：动态转移方程，先考虑底面应该是挺好想的，放第n个骰子，可以由n-1个骰子推出，为了方便将他的冲突面，改成都是朝向的那个面，比如1 2 冲突，那对应的两个骰子的底面是1，5；第n个骰子底面是1，可能第n-1骰子底面是1~6，这样的话，就可能有36种转移，当然最后要乘以4*n，因为我们只考虑了底面，但是题目的n有1e9，我们不能直接for循环。这里需要矩阵快速幂，

An=An-1*X X是一个六阶矩阵，Xij=1代表可以i面j面这样叠着放(对应的都是朝下的那个面)，反之则不可。

#include<bits/stdc++.h>
#define il inline
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define ms(_data,v) memset(_data,v,sizeof(_data))
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll inf=0x3f3f3f3f;
const int mod=1e9+7;
int n,m,pd[10];
void init(){
	pd[1]=4,pd[4]=1;
	pd[2]=5,pd[5]=2;
	pd[3]=6,pd[6]=3;
}
struct matrix{
	int m[7][7];
	matrix(){ms(m,0);}
	matrix operator *(const matrix &tp)const{
		matrix res;
		for(int i=1;i<=6;++i){
			for(int j=1;j<=6;++j){
				for(int k=1;k<=6;++k){
					res.m[i][j]=(res.m[i][j]+m[i][k]*tp.m[k][j])%mod;
				}
			}
		}
		return res;
	}
};
matrix matpow(matrix x,int n){
	matrix ans;
	for(int i=1;i<=6;++i)	ans.m[i][i]=1;
	while(n){
		if(n&1)	ans=ans*x;
		x=x*x;
		n>>=1;
	}
	return ans;
}
ll mpow(int x,int n){
	ll ans=1;
	while(n){
		if(n&1)	ans=(ans*x)%mod;
		x=(x*x)%mod;
		n>>=1;
	}
	return ans;
}
int main(){
	std::ios::sync_with_stdio(0);
	init();	
	cin>>n>>m;
	int x,y;
	matrix a;
	for(int i=1;i<=6;++i)
		for(int j=1;j<=6;++j)	a.m[i][j]=1;		
	for(int i=0;i<m;++i){
		cin>>x>>y; 
		a.m[x][pd[y]]=0;
		a.m[y][pd[x]]=0;
	}
	matrix ta=matpow(a,n-1);
	ll t=pow(4,n);
	ll res=0;
	for(int i=1;i<=6;++i){
		for(int j=1;j<=6;++j){
			res=(res+ta.m[i][j])%mod;
		}
	}
	cout<<(t*res)%mod<<endl;
	return 0;
}