HDU 3037 Saving Beans(隔板+组合数+lucas)

最新推荐文章于 2021-09-23 19:38:10 发布

原创最新推荐文章于 2021-09-23 19:38:10 发布 · 216 阅读

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本文深入探讨了组合数学中隔板法的应用，特别是在求解n个数和不超过m的方案数问题上。通过数学推导，将问题简化为C(n+m,m)的计算，并运用卢卡斯定理进行大数阶乘的高效处理。文章提供了详细的算法实现，包括预处理阶层、快速幂运算和卢卡斯定理的代码实现。

传送门

题意：相当于n个数的和不超过m的方案数。

思路：我们先考虑n个数和等于m的情况，即x1+x2+.......xn=m（允许xi为0）有多少种可能，我们可以想到隔板法，但由于允许0的出现，我们可以用1代表果子，有m个1，在加上n-1个0代表空，然后用n-1块隔板将其分成n份。即C(m+n-1,n-1)，

又C(m+n-1,n-1)=C(m+n-1,m),这代表着和为m的方案数。那我们可以得知当和为i的方案数为C(i+n-1,i)个，所以结果res就可以写出；res=C(n-1,0)+C(n,1)+...+C(n+m-1,m) （感觉已经很接近答案了，但是由于n，m很大，这样还是不行，还需要化简）

*公式 C(n,k) = C(n-1,k)+C(n-1,k-1)

我们就需要通过它来化简，我们可以将C(n-1,0)变成C(n,0)，这样就和C(n,1)结合变成了C(n+1,1),一直结合到最后，我们发现式子变成了C(n+m,m)，这个就是我们需要求的结果。剩下来只需要套用一下卢卡斯的板子即可。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=1e5+5;
ll n,m,p;
ll fac[maxn];
void getfac(ll p) { //预处理阶层
	fac[0]=1;
	for(int i=1; i<=p; i++)
		fac[i]=fac[i-1]*i%p;
}

ll mypow(ll a,ll n,ll p) { //快速幂运算
	ll ans=1;
	while(n) {
		if(n&1)
			ans=ans*a%p;
		a=a*a%p;
		n/=2;
	}
	return ans;
}

ll lucas(ll n,ll m,ll p) {
	ll ans=1;
	while(n&&m) {
		ll a=n%p;
		ll b=m%p;
		if(a<b) return 0;
		ans=(ans*fac[a]*mypow(fac[b]*fac[a-b]%p,p-2,p))%p;
		n/=p;
		m/=p;
	}
	return ans;
}

int main() {
	int t;
	cin>>t;
	while(t--) {
		cin>>n>>m>>p;
		getfac(p);
		cout<<lucas(n+m,m,p)<<endl;
	}
	return 0;
}