BSG白山极客挑战赛D 解题报告

最新推荐文章于 2016-12-07 19:53:09 发布

TA201314

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本文介绍了一个关于树结构的性质：对于树T的任意一条直径(a,b)，∀x∈T，必然有max(|(a,x)|,|(b,x)|)≥max{|(x,y)}

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

这题关键当然就在那个非常神的性质。

其实，对于一棵树来说，我们在上面随便找一个点（可以是边上的点任意一点），也就是可以选无穷多个点，那么距离这个点最远的点一定是一条直径的一端。且任意一条直径都存在一个端点是距离这个点最远的点。
我们考虑距离任意一点x最远的点y，假设有一条直径是(a,b)。（下面我们用(a,b)来表示两点之间的路径，用|(a,b)|来表示这条路径的长度）。
那么我们分两种情况考虑。
如果 $(a,b)\cap (x,y)=\varnothing$ ，如图。因为y距离x最远，所以 $|(d,y)|\ge |(d,a)|,|(d,y)|\ge |(d,b)|$ ；因为(a,b)是直径，所以 $|(b,c)|\ge|(c,y)|,|(a,c)|\ge|(c,y)|$ ，所以 $|(d,y)|\ge|(b,d)|>|(b,c)|\ge|(c,y)|>|(d,y)|$ ，产生了矛盾，所以这种情况其实是不存在的。
如果 $(a,b)\cap (x,y)\not=\varnothing$ ，如图。因为y距离x最远，所以 $|(d,y)|\ge|(d,b)|$ ，因为(a,b)是直径，所以 $|(d,y)|\le |(d,b)|$ ，所以 $|(d,y)|=|(d,b)|$ 。即(a,y)也是一条直径。

根据这个性质就有一个经典的找直径的算法，就是随便找一个点找离它最远的点，那么它必然是一条直径的一端，而离它最远的点就是直径的另一端了，所以只需要两边dfs/bfs即可。

那么这一题需要说明的是对于两个点集S、T，任选 $x\in S,y\in T$ ，则距离最远的(x,y)中存在 $y\in \{ a,b \}$ ((a,b)是T的一条直径)，那么对称的x也一样。
其实在S中任选一个点x出发，设其在T中距离最远的点为y，(x,y)上最靠近x的存在于T中两点路径上的点为z。那么y显然必须是离z最远的点，而根据上面的分析，一条直径必然有一个端点是离z最远的点。

那么这个问题就变成了求出一段区间的直径，题解说是可以用线段树 $O(\log n)$ 预处理， $O(1)$ 查询，我表示完全没看懂。。
我的做法是先用st表预处理出lca，因为合并两个区间的时候显然需要O(1)查询两点距离什么的。然后再用st表预处理出长为 $2^i$ 的区间的直径。时间复杂度 $O(6n\log n)-O(6m)$ 。

代码：

#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
#include<algorithm>
void in(int &x){
    char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9')c=getchar();
    for(x=0;c>='0'&&c<='9';c=getchar())x=x*10+(c^'0');
}
const int N=1e5+5;
int next[N<<1],succ[N<<1],w[N<<1],ptr[N],etot=1;
void addedge(int from,int to,int wt){
    next[etot]=ptr[from],ptr[from]=etot,succ[etot]=to,w[etot++]=wt;
}

const int Log=18;
int fa[N],depth[N];
int d[N<<1],dfn[N];
int Min(const int &a,const int &b){
    return depth[a]<depth[b]?a:b;
}
int dtot=1;
int dis[N];
int stack[N],cur[N];
void dfs(){
    stack[0]=1;
    depth[1]=1;
    for(int top=1,node;top--;){
        node=stack[top];
        //printf("-----%d----\n",node);
        if(cur[node]!=ptr[node]){
            d[dtot]=node;
            dfn[node]=dtot++;
        }
        if(cur[node]){
            ++top;
            if(succ[cur[node]]!=fa[node]){
                depth[succ[cur[node]]]=depth[node]+1;
                dis[succ[cur[node]]]=dis[node]+w[cur[node]];
                fa[succ[cur[node]]]=node;
                stack[top++]=succ[cur[node]];
            }
            cur[node]=next[cur[node]];
        }
    }
}
int lca[Log][N<<1];
int lg[N<<1];
int querydis(int a,int b){
    if(dfn[a]>dfn[b])swap(a,b);
    int tmplg=lg[dfn[b]-dfn[a]+1],x=Min(lca[tmplg][dfn[a]],lca[tmplg][dfn[b]-(1<<tmplg)+1]);
    //printf("Min%d:(%d,%d)\n",tmplg,dfn[a],dfn[b]-(1<<tmplg)+1);
    //printf("dis(%d,%d),%d=%d\n",a,b,x,dis[a]+dis[b]-(dis[x]<<1));
    return dis[a]+dis[b]-(dis[x]<<1);
}
struct AS{
    int a[2];
}st[Log][N];
AS merge(const AS & u,const AS &v){
    int maxdis=querydis(u.a[0],u.a[1]),tmp;
    AS ans=u;
    if((tmp=querydis(v.a[0],v.a[1]))>maxdis){
        maxdis=tmp;
        ans=v;
        //printf("Get:%d\n",maxdis);
    }
    for(int i=2;i--;)
        for(int j=2;j--;)
            if((tmp=querydis(u.a[i],v.a[j]))>maxdis){
                maxdis=tmp;
                ans=(AS){u.a[i],v.a[j]};
            }
    //printf("merge((%d,%d),(%d,%d))=(%d,%d)\n",u.a[0],u.a[1],v.a[0],v.a[1],ans.a[0],ans.a[1]);
    return ans;
}
AS query(int l,int r){
    int tmplg=lg[r-l+1];
    //printf("[%d,%d]\n",l,r);
    //printf("merge(%d,(%d,%d))\n",tmplg,l,r-(1<<tmplg)+1);
    //printf("%d %d\n",st[tmplg][l].a[0],st[tmplg][l].a[1]);
    return merge(st[tmplg][l],st[tmplg][r-(1<<tmplg)+1]);
}
int main(){
    freopen("51noded.in","r",stdin);
    //freopen("51noded.out","w",stdout);
    int n;
    in(n);
    int x,y,z;
    for(int i=n;--i;){
        in(x),in(y),in(z);
        addedge(x,y,z),addedge(y,x,z);
    }

    dtot=1;
    for(int i=n;i;--i)cur[i]=ptr[i];
    dfs();

    //cout<<dfn[65536]<<endl;
    //cout<<d[68211]<<endl;
    /*puts("----dfn----");
    for(int i=1;i<dtot;++i)printf("%d ",d[i]);
    puts("");*/

    //cout<<d[68211]<<endl;
    for(int i=dtot;--i;)lca[0][i]=d[i];
    for(int i=1,j=0;i<dtot;++i){
        lg[i]=j;
        if(i==1<<j+1)++j;
    }
    //cout<<lca[0][68211]<<endl;
    for(int j=1;j<Log;++j)
        for(int i=dtot-(1<<j);i>0;--i)
            lca[j][i]=Min(lca[j-1][i],lca[j-1][i+(1<<j-1)]);

    /*for(int j=0;j<Log;++j)
        for(int i=dtot-(1<<j);i>0;--i)
            printf("lca(%d,%d)=%d\n",j,i,lca[j][i]);*/

    for(int i=1;i<=n;++i)st[0][i]=(AS){i,i};
    for(int j=1;j<Log;++j)
        for(int i=n-(1<<j)+1;i>0;--i)
            st[j][i]=merge(st[j-1][i],st[j-1][i+(1<<j-1)]);
    //printf("%d %d\n",st[15][1].a[0],st[15][1].a[1]);
    //printf("%d %d\n",st[0][65895].a[0],st[0][65895].a[1]);
    //printf("%d %d\n",st[0][65896].a[0],st[0][65896].a[1]);
    //cout<<Min(lca[0][68211],lca[0][68211])<<endl;
    //testquery(65895,65895);

    int m;
    in(m);
    int a,b,c,d;
    AS s,t;
    while(m--){
        in(a),in(b),in(c),in(d);
        s=query(a,b),t=query(c,d);
        //printf("s=%d,%d\n",s.a[0],s.a[1]);
        //printf("t=%d,%d\n",t.a[0],t.a[1]);
        int maxdis=0;
        for(int i=2;i--;)
            for(int j=2;j--;)
                maxdis=max(maxdis,querydis(s.a[i],t.a[j]));
        printf("%d\n",maxdis);
    }
}