CCF 有趣的数

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本文介绍了一种使用数位动态规划方法解决特定数字组合计数问题的方法。问题要求计算符合特定条件的n位有趣数的数量，通过定义状态和状态转移方程实现了高效求解。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

@author StormMaybin
@date 2016-09-09

生命不息，奋斗不止！

题目描述

我们把一个数称为有趣的，当且仅当：
1. 它的数字只包含0, 1, 2, 3，且这四个数字都出现过至少一次。
2. 所有的0都出现在所有的1之前，而所有的2都出现在所有的3之前。
3. 最高位数字不为0。
因此，符合我们定义的最小的有趣的数是2013。除此以外，4位的有趣的数还有两个：2031和2301。
请计算恰好有n位的有趣的数的个数。由于答案可能非常大，只需要输出答案除以1000000007的余数。

输入格式

输入只有一行，包括恰好一个正整数n (4 ≤ n ≤ 1000)。

输出格式

输出只有一行，包括恰好n 位的整数中有趣的数的个数除以1000000007的余数。

样例输入

样例输出

讲道理，刚开始看到这道题目的时候我是懵逼的，但是又感觉有点熟悉，有种数位dp的感觉，题目给定的限制条件是所有的0必须出现在所有的1前面，并且所有的2必须出现在所有3的前面，不仅如此，0 1 2 3 这四个数至少出现一次，其实我们可以先看看最高位应该填什么？那么我们依次找0 1 2 3来试吧，最高位不能是0，那么假定最高位填1，那么0就会在1的后面了，所以1当然不行，我们先跳过2（事实上，最高位只能填 2），假设最高位是3，又出现了题目要求违背的事情（所有的2只能出现在所有的3 的前面），所以最高位只能出现2，接下来我们定义6个状态（每个状态表示此时所包含的数字的集合）：

状态0：2
状态1：0 2
状态2：0 2 3
状态3：0 1 2
状态4：0 2 3
状态5：0 1 2 3
其实这6种状态包含了所有的有效的情况，假如第i位的某一个状态我们选取的是1 2 这个集合，那么我们推第i+1位的时候，怎么可能再填0呢！（因为这样出现了1 在0前面的情况，和题目要求相违背）！现在我们定义一个二维数组sta[i][j]来表示i位数字集合保持j这种状态的种数。由这个我们可以得到状态转移方程：

sta[i][1] = (sta[i - 1][0] + sta[i - 1][1] * 2)
sta[i][2] = (sta[i - 1][0] + sta[i - 1][2])
sta[i][3] = (sta[i - 1][1] + sta[i - 1][3] * 2)
sta[i][4] = (sta[i - 1][1] + sta[i - 1][2] + sta[i - 1][4] * 2)
sta[i][5] = (sta[i - 1][3] + sta[i - 1][4] + sta[i - 1][5] * 2)]

举个例子来说明一下，比如sta[i][1]这个状态是怎么转移来的，首先它可以由sta[i-1][1]这个状态转移来，那么我们第i位可以填0 或者是2，所以由sta[i-1][1]有两种方式。如果是sta[i - 1][0] 这个状态转移的话，第i位只能填0，所以sta[i][1] = (sta[i - 1][0] + sta[i - 1][1] * 2)，其他同理！

代码

public class Test4
{
    public static final int MOD = 1000000007;

    public Test4()
    {
        Scanner scan = new Scanner(System.in);
        while (scan.hasNext())
        {
            int n = scan.nextInt();
            long[][] sta = new long[n + 1][6];
            for (int i = 0; i < 6; i++)
                sta[0][i] = 0;
            for (int i = 0; i < 6; i++)
                sta[0][i] = 0;
            for (int i = 1; i <= n; i++)
            {
                sta[i][0] = 1;
                sta[i][1] = (sta[i - 1][0] + sta[i - 1][1] * 2) % MOD;
                sta[i][2] = (sta[i - 1][0] + sta[i - 1][2]) % MOD;
                sta[i][3] = (sta[i - 1][1] + sta[i - 1][3] * 2) % MOD;
                sta[i][4] = (sta[i - 1][1] + sta[i - 1][2] + sta[i - 1][4] * 2)
                        % MOD;
                sta[i][5] = (sta[i - 1][3] + sta[i - 1][4] + sta[i - 1][5] * 2)
                        % MOD;
            }
            System.out.println(sta[n][5]);
        }
        scan.close();
    }

    public static void main(String[] args)
    {
        // TODO Auto-generated method stub
        new Test4();
    }
}