动态规划精讲-优快云博客

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*@author StormMaybin
*@Date 2016-9-3
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动态规划概述

以下文字来源于网络

动态规划(dynamic programming)是运筹学的一个分支，是求解决策过程(decision process)最优化的数学方法。20世纪50年代初美国数学家R.E.Bellman等人在研究多阶段决策过程(multistep decision process)的优化问题时，提出了著名的最优化原理(principle of optimality)，把多阶段过程转化为一系列单阶段问题，逐个求解，创立了解决这类过程优化问题的新方法——动态规划。1957年出版了他的名著Dynamic Programming，这是该领域的第一本著作。
动态规划问世以来，在经济管理、生产调度、工程技术和最优控制等方面得到了广泛的应用。例如最短路线、库存管理、资源分配、设备更新、排序、装载等问题，用动态规划方法比用其它方法求解更为方便。
　　虽然动态规划主要用于求解以时间划分阶段的动态过程的优化问题，但是一些与时间无关的静态规划(如线性规划、非线性规划)，只要人为地引进时间因素，把它视为多阶段决策过程，也可以用动态规划方法方便地求解。
　　动态规划程序设计是对解最优化问题的一种途径、一种方法，而不是一种特殊算法。不象前面所述的那些搜索或数值计算那样，具有一个标准的数学表达式和明确清晰的解题方法。动态规划程序设计往往是针对一种最优化问题，由于各种问题的性质不同，确定最优解的条件也互不相同，因而动态规划的设计方法对不同的问题，有各具特色的解题方法，而不存在一种万能的动态规划算法，可以解决各类最优化问题。因此读者在学习时，除了要对基本概念和方法正确理解外，必须具体问题具体分析处理，以丰富的想象力去建立模型，用创造性的技巧去求解。我们也可以通过对若干有代表性的问题的动态规划算法进行分析、讨论，逐渐学会并掌握这一设计方法。

经典01背包问题

题目

一个旅行者准备随身携带一个背包，可以放入背包的物品有n种，每种物品的重量和价值分别为w[i], v[i] . 如果背包的最大重量限制是b, 怎样选择放入背包的物品以使得背包的价值最大?

算法分析

对于每一种特定的物品来说，它只有两个状态，要么被装了，要么就是没有被装，所以把这种只有两种状态的背包问题就叫做是01背包问题！那么我们现在给出一组数据来分析：
b = 10，w[6]={0，2，2，6，5，4}，物品价值V[6]={0，6，3，5，4，6}（前导0是为了方便计算和理解）。

以下图片分析来自孤剑独舞

这里写图片描述

这个分析应该是最详细的01背包讲解了，那么现在给出状态转移方程:
*dp[i][v] = max (dp[i-1][v], dp[i-1][v-w[i]]+v[i])*dp[i][v]表示前i个物品，背包容量是v的时候最大的价值，那么dp[i][v]就和第i个物品装不装有关系，如果第i个物品不装那么最大价值是dp[i-1][v]，如果装的话那么就是dp[i-1][v-w[i]]+v[i]。很好理解吧！

package com.stormma.zeroOnePack;
import java.util.Scanner;
public class ZeroOnePack
{
    Scanner scan = new Scanner (System.in);
    public ZeroOnePack()
    {
        //物品个数
        int count;
        //背包最大容量
        int weight;
        //每一个物品的重量
        int [] w;
        //每一个物品的价值
        int [] v;
        while (scan.hasNext())
        {
            weight = scan.nextInt();
            count = scan.nextInt();
            w = new int [count+1];
            v = new int [count+1];
            for (int i = 1; i <= count; i++)
                w[i] = scan.nextInt();
            for (int i = 1; i <= count; i++)
                v[i] = scan.nextInt();
            int [][] dp = new int[count+1][weight+1];
            dp[0][0] = 1;
            for (int i = 1; i <= count; i++)
            {
                for (int j = 1; j <= weight; j++)
                {
                    //如果可以装下
                    if (j >= w[i])
                        dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + v[i]);
                }
            }
            System.out.println(dp[count][weight]);
        }
    }
    public static void main(String[] args)
    {
        // TODO Auto-generated method stub
        new ZeroOnePack();
    }
}

数字三角形

题目描述

有一个由非负整数组成的三角形，第一行只有一个数，除了最下行之外每个数的左下方和右下方都有一个数，如下图

要求从第一个数开始，每次可以往右下方或者左下方走一格，直到走到最下行，把沿途经过的数全部加起来，如何走才能使得这个和最大？

分析

定义状态dp[i][j]为从格子（i，j）出发时能得到的最大和（包括（i，j）本身的值），那么我们最终的结果应该是dpp[1][1]，从格子（i，j）出发有两种决策，即往右下方或者是左下方，如果往左下方走，那么必须要求dp[i+1][j]是最大的，反之如果向右下方那么要求dp[i+1][j+1]应该是最大的。那么我们可以得到状态转移方程：
dp[i][j] = a[i][j] + max（d[i+1][j]，dp[i+1][j+1]）这个状态转移说明如果往左下方走那么最好情况就是a[i][j]+从（i+1，j）开始走的最大和，反之如果向右下方那么最好情况就是a[i][j] + 从（i+1， j+1）开始走的最大值！
有了状态转移方程，我们用递归形式表示如下:

递归形式

public int dp(int i, int j)
{
    return a[i][j] + (i == n) ? 0 : Math.max(dp(i+1, j), dp(i+1, j+1));
}

上面这个递归形式是正确的，但是出于时间效率的考虑，我们不得不寻找更快解法！

递推形式

int i, j;
//底层赋值
for (j = 1; j <= n; j++)
{
    dp[n][j] = a[n][j];
}
for (i = n-1; i >= 1; i--)
{
    for (j = 1; j <= i; j++)
    {
        d[i][j] = a[i][j] + Math.max(dp(i+1, j), dp(i+1, j+1));
    }
}

记忆化搜索

这个就是比较快速的解法了

Arrays.fill(dp,-1);
public int d(int i, int j)
{
    //记忆化
    if (dp[i][j] > 0)
        return dp[i][j];
    return dp[i][j]  = a[i][j] + (i == n) ? 0 : Math.max(dp(i+1, j), dp(i+1, j+1));
}