建模入门——肠衣问题

肠衣制作问题

 

每次都是查看大量资料，最后没办法自己列出来公式，自己算，然后发现比网上的种类还要多。

摘要

本文主要讨论的是肠衣制作加工问题，该题是以天然肠衣为背景，对其搭配问题进行探讨和研究，因为肠衣本身是不可随便进行切割的，只能按照给出的规格安排生产，通过对成品规格表和原料描述表的数据进行分析，分别以最大捆数、最优方案、降级利用、时间限制四个方面为目标和约束条件建立最优模型，利用LINGO，得到符合实际问题的最优方案。

首先，根据题目中给出的成品规格表和原料描述表，建立线性规划模型，利用LINGO，分析得出目标函数的最优解188捆，其中3—6.5的产品为14捆，7—13.5的产品为34捆，14—25.5的产品为138捆，从结果中我们可以看出材料有剩余。  

其次，对剩余的材料降级使用，继续利用线性规划模型，利用LINGO进行求解，结果为2捆。

最后，综合以上两个模型，最后的结果为两次生产之和，共188捆。

具体为：

第3规格最大捆数总捆数138，出9种分配方式，并且把剩余材料降级至6.5米档使用。 

第2规格最大捆数总捆数34，出3种分配方式，剩余根材料降级为6.5米档使用。 

第1规格最大捆数总捆数16，出4种分配方式。

最后，得出最终捆数为16+34+138=188（捆），该lingo程序能在30分钟内产生。 

 

 关键字：线性规划 降级使用 搭配方案 最优模型

  

• 问题重述

 

天然肠衣（以下简称肠衣）制作加工是我国的一个传统产业，出口量占世界首位。肠衣经过清洗整理后被分割成长度不等的小段（原料），进入组装工序。传统的生产方式依靠人工，边丈量原料长度边心算，将原材料按指定根数和总长度组装出成品（捆）。 

原料按长度分档，通常以0.5米为一档，如：3-3.4米按3米计算，3.5米-3.9米按3.5米计算，其余的依此类推。表1是几种常见成品的规格，长度单位为米，∞表示没有上限，但实际长度小于26米。

表1 成品规格表

最短长度	最大长度	根数	总长度
3	6.5	20	89
7	13.5	8	89
14	∞	5	89

 

表2 原料描述表

长度	3-3.4	3.5-3.9	4-4.4	4.5-4.9	5-5.4	5.5-5.9	6-6.4	6.5-6.9
根数	43	59	39	41	27	28	34	21
长度	7-7.4	7.5-7.9	8-8.4	8.5-8.9	9-9.4	9.5-9.9	10-10.4	10.5-10.9
根数	24	24	20	25	21	23	21	18
长度	11-11.4	11.5-11.9	12-12.4	12.5-12.9	13-13.4	13.5-13.9	14-14.4	14.5-14.9
根数	31	23	22	59	18	25	35	29
长度	15-15.4	15.5-15.9	16-16.4	16.5-16.9	17-17.4	17.5-17.9	18-18.4	18.5-18.9
根数	30	42	28	42	45	49	50	64
长度	19-19.4	19.5-19.9	20-20.4	20.5-20.9	21-21.4	21.5-21.9	22-22.4	22.5-22.9
根数	52	63	49	35	27	16	12	2
长度	23-23.4	23.5-23.9	24-24.4	24.5-24.9	25-25.4	25.5-25.9
根数	0	6	0	0	0	1

 

根据以上成品和原料描述，设计一个原料搭配方案，工人根据这个方案“照方抓药”进

行生产。 

公司对搭配方案有以下具体要求： 

(1) 对于给定的一批原料，装出的成品捆数越多越好； 

(2) 对于成品捆数相同的方案，最短长度最长的成品越多，方案越好； 

(3) 为提高原料使用率，总长度允许有± 0.5米的误差，总根数允许比标准少1根；  (4) 某种规格对应原料如果出现剩余，可以降级使用。如长度为14米的原料可以和长   

度介于7-13.5米的进行捆扎，成品属于7-13.5米的规格； 

(5) 为了食品保鲜,要求在30分钟内产生方案。 

请建立上述问题的数学模型，给出求解方法，并对表1、表2给出的实际数据进行求解，给出搭配方案。

 

二：模型假设

(1) 假设在整理分配天然肠衣过程中不出现损坏情况。   

(2) 假设接口处长度忽略不计 

(3) 降级使用的原料不出现分割错误等问题

(4)  三种成品规格是固定的

(5)  为了食品保鲜,要求在30分钟内产生方案

该模型建立在一起理想化条件上，忽略外界因素对模型的影响

 

三：问题分析

3.1 问题背景分析 

该题以肠衣制作加工为背景，由题意可知，规定的档次不同，规格也不一样,目的为建立一种模型，通过计算，生成经过优化后满足成品规模要求的搭配方法，以达到减少劳动强度、提高生产效率的目的。 

3.2问题数据分析 

根据成品规格表，把成品规格分为第1规格，第2规格，第3规格三类。原料按长度分档，通常以0.5米为一档，如：3-3.4米按3米计算，3.5米-3.9米按3.5米计算，其余的依此类推，共46个档。 

3.3问题要求分析 

题目要求装出的成品捆数越多越好，且每种规格需要满足表中的根数约束，总长度约束，各区间总根数约束及整数约束。先从大规格开始分析并且优先选择最长肠衣充分搭配，使剩余原料长度接近下一档的最长肠衣长度。求出最大捆数和每一规格在最大捆数下使用的具体根数。如果出现了剩余原料，则考虑降级使用。 

在优化过程中考虑到提高原料利用率，约束条件为总长度允许有±0.5米的误差，总根数允许比标准少1根。运用线性规划，以捆数最大为目标方案进行优化。最后，在确定了最大捆数的具体根数情况下，就每规格的具体搭配建立通用搭配模型，分别就三种规格具体数据，利用软件编程，求出三种规格成品各个搭配方案。

 

四、模型建立与求解 

4.1 第3规格：

第3规格的材料为14-26米,所取根数范围为[4,5]，并且所取总长度范围 [88.5，89.5]。

设值	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9	x10	x11	x12
档类	14	14.5	15	15.5	16	16.5	17	17.5	18	18.5	19	19.5
数量	35	29	30	42	28	42	45	49	50	64	52	63
设值	x13	x14	x15	x16	x17	x18	x19	x20
档类	20	20.5	21	21.5	22	22.5	23.5	25.5
数量	49	35	27	16	12	2	6	1

 

分析：(1)由已知条件1可知，生成的成品数越多越好，建立相关的函数：

 (2)由条件3知，为提高原料使用率，总长度允许有±0.5米的误差，总根数允许比标准少1   根，建立相应的约束条件：

(3)由条件4知，如果某种规格对应原料出现剩余，可以降级使用：

(4)xi  (i=1,2,…,20)分别代表相应的档类，x 代表捆数，用lingo软件进行优化求解，求得局部最优解，得到相应的结果,总捆数为138捆，9种分配方案，以及最终剩余数量：

[max=x;

x*(14*x1+14.5*x2+15*x3+15.5*x4+16*x5+16.5*x6+17*x7+17.5*x8+18*x9+18.5*x10+19*x11+19.5*x12+20*x13+20.5*x14+21*x15+21.5*x16+22*x17+22.5*x18+23.5*x19+25.5*x20)<=12160;

14*x1+14.5*x2+15*x3+15.5*x4+16*x5+16.5*x6+17*x7+17.5*x8+18*x9+18.5*x10+19*x11+19.5*x12+20*x13+20.5*x14+21*x15+21.5*x16+22*x17+22.5*x18+23.5*x19+25.5*x20<=89.5;

14*x1+14.5*x2+15*x3+15.5*x4+16*x5+16.5*x6+17*x7+17.5*x8+18*x9+18.5*x10+19*x11+19.5*x12+20*x13+20.5*x14+21*x15+21.5*x16+22*x17+22.5*x18+23.5*x19+25.5*x20>=88.5;

x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11+x12+x13+x14+x15+x16+x17+x18+x19+x20<=5;

x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11+x12+x13+x14+x15+x16+x17+x18+x19+x20>=4;

x1*x<=35;

x2*x<=29;

x3*x<=30;

x4*x<=42;

x5*x<=28;

x6*x<=42;

x7*x<=45;

x8*x<=49;

x9*x<=50;

x10*x<=64;

x11*x<=52;

x12*x<=63;

x13*x<=49;

x14*x<=35;

x15*x<=27;

x16*x<=16;

x17*x<=12;

x18*x<=2;

x19*x<=6;

x20*x<=1;]

 

捆数	方案	14	14.5	15	15. 5	16	16. 5	17	17. 5	18	18. 5	1 9	19. 5	20	20. 5	21	21 .5	22	22. 5	23.5	25.5
42	1				1			1	1			1	1
35	2						1			1				1	1
27	3				1		1					2					1
14	4	1	1										1			1	1
7	5	1							1		1	1	1
6	6		2				1											2
3	7	1	1							1	1									1
3	8	1		1						2										1
1	9	1					1			1		1					1

 

档类	14	14.5	15	15.5	16	16.5	17	17.5	18	18.5	19	19.5
数量	35	29	30	42	28	42	45	49	50	64	52	63
最终剩余	0	0	0	0	1	0	1	0	0	0	1	0
档类	20	20.5	21	21.5	22	22.5	23.5	25.5
数量	49	35	27	16	12	2	6	1
最终剩余	0	0	0	0	0	0	0	0

 

4.2 第2规格：

第2规格的材料为7-13.5米,所取根数范围为[7,8]，并且所取总长度范围 [88.5，89.5]。

 

设值	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9	x10	x11	x12	x13	x14
档类	7	7.5	8	8.5	9	9.5	10	10.5	11	11.5	12	12.5	13	13.5
数量	24	24	20	25	21	23	21	18	31	23	22	59	18	25

分析：(1)由已知条件1可知，生成的成品数越多越好，建立相关的函数：

(2)由条件3知，为提高原料使用率，总长度允许有±0.5米的误差，总根数允许比标准少

1根，建立相应的约束条件：

(3)由条件4知，如果某种规格对应原料出现剩余，可以降级使用：

(4)xi  (i=1,2,…,14)分别代表相应的档类，x 代表捆数，用lingo软件进行优化求解，求得局部最优解，得到相应的结果,总捆数为34捆，3种分配方案，以及最终剩余数量：

max=x;
x*(7*x1+7.5*x2+8*x3+8.5*x4+9*x5+9.5*x6+10*x7+10.5*x8+11*x9+11.5*x10+12*x11+12.5*x12+13*x13+13.5*x14)<=243.5;
7*x1+7.5*x2+8*x3+8.5*x4+9*x5+9.5*x6+10*x7+10.5*x8+11*x9+11.5*x10+12*x11+12.5*x12+13*x13+13.5*x14<=89.5;
7*x1+7.5*x2+8*x3+8.5*x4+9*x5+9.5*x6+10*x7+10.5*x8+11*x9+11.5*x10+12*x11+12.5*x12+13*x13+13.5*x14>=88.5;
x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11+x12+x13+x14<=20;
x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11+x12+x13+x14>=19;
x*x1<=24;
x*x2<=24;
x*x3<=20;
x*x4<=25;
x*x5<=21;
x*x6<=23;
x*x7<=21;
x*x8<=18;
x*x9<=31;
x*x10<=23;
x*x11<=22;
x*x12<=59;
x*x13<=18;
x*x14<=25;

 

捆数	方案	7	7.5	8	8.5	9	9.5	10	10.5	11	11.5	12	12.5	13	13.5
22	1	1			1					1	1	1	2		1
9	2						1	2	2				1	2
3	3			1		1				3			2		1

 

 

档类	7	7.5	8	8.5	9	9.5	10	10.5	11	11.5	12	12.5	13	13.5
数量	24	24	20	25	21	23	21	18	31	23	22	59	18	25
最终剩余	2	24	17	3	18	14	3	0	0	1	0	0	0	0

 

4.3 第1规格：

第1规格的材料为3-6.5米,所取根数范围为[19,20]，并且所取总长度范围 [88.5，89.5]。

 

设值	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8
档类	3	3.5	4	4.5	5	5.5	6	6.5
数量	43	59	39	41	27	28	34	21

分析：(1)由已知条件1可知，生成的成品数越多越好，建立相关的函数：

(2)由条件3知，为提高原料使用率，总长度允许有±0.5米的误差，总根数允许比标准少

1根，建立相应的约束条件：

(3)xi  (i=1,2,…,8)分别代表相应的档类，x 代表捆数，用lingo软件进行优化求解，求得局部最优解，得到相应的结果,总捆数为14捆，2种分配方案，以及最终剩余数量：

max=x;
x*(3*x1+3.5*x2+4*x3+4.5*x4+5*x5+5.5*x6+6*x7+6.6*x8)<=1305.5;
3*x1+3.5*x2+4*x3+4.5*x4+5*x5+5.5*x6+6*x7+6.6*x8<=89.5;
3*x1+3.5*x2+4*x3+4.5*x4+5*x5+5.5*x6+6*x7+6.6*x8>=88.5;
x9*(x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8)<=292;
x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8<=20;
x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8>=19;
x1*x<=43;
x2*x<=59;
x3*x<=39;
x4*x<=41;
x5*x<=27;
x6*x<=28;
x7*x<=34;
x8*x<=107;

捆数	方案	3	3.5	4	4.5	5	5.5	6	6.5
3	1	3	2	2	5	1	2		4
11	2	3	4	3	2	2	2	3	1

 

档类	3	3.5	4	4.5	5	5.5	6	6.5
数量	43	59	39	41	27	28	34	21
最终 剩余	1	9		4	2		1	8

 

4.4 将第3规格剩余降为第2规格时，并不能生成相应的规格，即生成没有1捆。

 

4.5将第3规格，第2规格，第1规格的剩余原料混合降为第1规格时：

 

第1规格的材料为3-6.5米,所取根数范围为[19,20]，并且所取总长度范围 [88.5，89.5]。

 

第1规格剩余：

设值	x1	x2	x3	x4	x5	x6
档类	3	3.5	4.5	5	6	6.5
数量	1	9	4	2	1	8

第2规格剩余：

档类	7	7.5	8	8.5	9	9.5	10	11.5
数量	2	24	17	3	18	14	3	1

第3规格剩余：

档类	16	17	19
数量	1	1	1

分析：(1)由已知条件1可知，生成的成品数越多越好，建立相关的函数：

(2)由条件3知，为提高原料使用率，总长度允许有±0.5米的误差，总根数允许比标准少

1根，建立相应的约束条件：

(3)由条件4知，某种规格对应原料如果出现剩余，可以降级使用。如长度为14米的原料可以和长度介于7-13.5米的进行捆扎，成品属于7-13.5米的规格

(4)xi  (i=1,2,…,6)分别代表相应的档类，x 代表捆数，x7代表当前捆h的数值，x7的范围为3-6.5，h代表当前捆x7的值， 用lingo软件进行优化求解，逐层递减，求得局部最优解，得到相应的结果,总捆数为2捆，1种分配方案，以及最终剩余数量：

max=x;
x*(3*x1+3.5*x2+4.5*x3+5*x4+6*x5+6.5*x6+h*x7)<=243.5;
3*x1+3.5*x2+4.5*x3+5*x4+6*x5+6.5*x6+h*x7<=89.5;
3*x1+3.5*x2+4.5*x3+5*x4+6*x5+6.5*x6+h*x7>=88.5;
x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7<=20;
x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7>=19;
x*x1<=1;
x*x2<=1;
x*x3<=4;
x*x4<=2;
x*x5<=1;
x*x6<=4;
x*x7<=59;

捆数	方案	3	3.5	4	4.5	5	5.5	6	6.5
2	1	3	2	2	5	1	2		4

 

第1规格剩余：

档类	3	3.5	4.5	5	6	6.5
数量	1	9	4	2	1	8
最终 剩余	1	1	4	2	1	4

 

（5）分析可知，第1规格剩余由上图可知，第2规格，第3规格剩余59根，总长度剩余37.5米。

 

 

第3规格最大捆数总捆数138，出9种分配方式 

第2规格最大捆数总捆数34，出3种分配方式 

第1规格最大捆数总捆数16，出4种分配方式

得出最终捆数为16+34+138=188捆。 

 

五：模型评评价与修正

 

我们所建立的模型通过对目标的最优化问题，使得多目标的规划问题转化为单目标线性

规划问题，所以能比较好的反映出各个目标函数的重要程度。而且模型在计算中作了一些舍入和取整，不可避免的产生了一些误差，但是这些误差的是可以容忍的。

优点： 

（1）方案形式简单，所有的数据已表格形式呈现，易于操作和查看。 

（2）方案直观显示各种配方的类型和所需数目，也可以准确得出剩余数目，

（3）提高了生产的速度，降低成本。 

缺点： 

（1）忽略原料损坏而使整个生产方案失效的情况。 

（2）忽略了降级生产中材料分割错误等问题。

 

 

参考文献

 

[1]姜启源，谢金星，数学建模（第三版），北京：高等教育出版社，2003

[2]王广超，朱旭生，MATLAB与数学实验，北京：高等教育出版社，2010