LeetCode354 -- 最长上升子序列

1. 题目描述

354. 俄罗斯套娃信封问题

2. 思路

非常明显的上升子序列问题。但是我在做的时候遇到了一个之前做 $LCS$ 从来没考虑过的点。
之前都是直接排序，而无论是左端点优先还是右端点优先，假设左端点优先吧并且一般都是升序，我们一般是让右端点也升序的。
也就是说，左右端点都是升序的。做了很多 $LCS$，都没有问题，直到这里，由于一些机缘巧合，$bug$ 来了！

看看下面的例子：$[1,10],[2,4],[3,5]$
我在做的时候，因为数据规模在 $10^5$, 所以使用了贪心的做法，按照左端点升序，然后右端点升序。
然后二分查找合适的长度并更新答案。
然后对于每个长度，保存一个 $[left,right]$，即 q[len] = {left, right},表示长度为 $k$ 时，左右端点的最小值。（注意⚠️，这句话问题很大！）
对于该例子，我们希望输出长度 $2$，即，$[2,4],[3,5]$ 显然是符合条件的。
但是我的程序输出了 $1$，为什么呢？
原来是，长度为 $1$ 时，我们选择了 $[1,10]$，而遍历到 $[2,4]$ 时，$4<10$，因此跳过去了，$[3,5]$ 也是。
注意到问题所在了没有？对于 $[1,10]$ 和 $[2,4]$，谁“更小”？
答案是不知道或者说是不确定🤔。

对于该例子，显然 $[2,4]$ 更合适，好像乍看起来，如果后面的数的右端点更小的话，总是更合适啊？
别急，看下面的例子：$[3,10],[12,1],[12,11],[13,20]$
长度为 $1$ 时，应该选择 $[3,10]$ 而不是 $[12,1]$。啊，麻烦了！
我们发现，我们无法确定谁更好，到底是选择左端点小的呢？还是右端点小的呢？不知道，除非我们知道后面的数据是什么。
但是显然我们不知道后面的数据。

这时候，就要拷问前面的⚠️了！对于每个长度，我们保存了两个信息，这就会导致歧义，到底是第一个信息（$left$）的优先级高？还是第二个信息 （$right$）的优先级高呢？
不知道！
但是如果我们只保存了一个信息的话，那么就可以准确的确定优先级了（不会有歧义）！
因为我们按照左端点排序的，所以左端点肯定是升序（⚠️不严格升序）的，出于贪心的角度，我们肯定希望右端点越小越好，这样后面的区间就更容易合法。
那么我们就只保存右端点即可，即 q[len] = right

好像大功告成了？$NO$！
对于这个例子，$[3,5],[12,7],[12,11],[13,20]$，如果我们按照上面的思路，结果会是 $4$ 而不是 $3$。
因为我们会把 $[12,7],[12,11]$ 都算作答案，你可能会问，你在比较一下左端点不就行了吗？
但是我们的 q[len] 只保存了右端点啊，如果你想要比较左端点，你就需要再保存它，那不就会到上面的讨论了吗？
怎么办呢？
答案是，对于右端点，我们不能升序，而是降序，将序列转化为：
$[3,5],[12,11],[12,7],[13,20]$，那么由于 $[12,7]$ 的右端点小于 $[12,11]$ 的右端点，所以就不会选它了。
这样就可以完全避免左端点相等时多次选取的情况，因为如果左端点相等，那么右端点大的总是先出现，它先出现就会导致下一个区间的右端点匹配失败，

你可能会问，那不就是让右端点每次选取最大值了吗！$oh$，我们一开始就提到过了，有时候右端点越小越好啊！
且慢！
在 $[3,5],[12,7],[12,11],[13,20]$ 中，当我们遍历到 $[12,11]$ 时，它更新的是 q[3] 也就是长度为 $3$ 的情况。
而在 $[3,5],[12,11],[12,7],[13,20]$ 中，它更新的是 q[2] 也就是长度为 $2$ 的情况，此时 q[2]=11 -> q[2]=7，成功替换为了更小的值！

看出来区别了吧！
总之，意会吧！

最后提一点，如果我们没有使用贪心优化的做法， 而是使用暴力 $O(n^2)$ 的话，是不需要考虑这些的，直接全部升序排就行了！
因为此时对于左右端点的信息，我们可以轻松得知！

3. 代码

下面代码，我是按照左端点升序，右端点降序排序的，然后 q[] 保存右端点的最小值。
我们也可以右端点升序，左端点降序排序的，然后 q[] 保存左端点的最小值。

class Solution {
public:
    int maxEnvelopes(vector<vector<int>>& g) {
        int n = g.size();
        sort(g.begin(), g.end(), [&](auto &x, auto &y){
            if(x[0] == y[0])    return x[1] > y[1]; // ⚠️
            return x[0] < y[0];
        });

        vector<int> q(n + 10);
        int len = 0;
        for(auto &x : g) {
            int l = 0, r = len;
            while(l < r) {
                int mid = l + r + 1 >> 1;
                if(x[1] > q[mid])   l = mid;
                else r = mid - 1;
            }
            len = max(len, l + 1);
            q[l + 1] = x[1];    // 一定更小
        }
        return len;
    }
};