D3D Frustum六个裁剪平面生成原理

概念介绍 Frustum裁剪是CLOD中很重要的一个算法，很多文章都是一句话就过去，或者直接给出代码。但是数学推导很少给出，本文章的目的就是解释大家看这些代码中的疑问。 透视投影是将相机空间中的点从视锥体(view frustum)变换到规则观察体(Canonical View Volume，CCV)中，即是世界空间的视锥体(view frustum)中的任何一个点，如果经过投影矩阵变换后，它必定规则观察体(Canonical View Volume，CCV)中，也即是在(-1,-1,0) ~ (1,1,1)之间的值如图1所示 这里 我们定义 P0=(-1,-1,0) P1=(1,-1,0) P2=(1,-1,1) P3=(-1,-1,1) P4=(-1,1,0) P5=(1,1,0) P6=(1,1,1) P7=(-1,1,1) 我们通过这8个点构建6个面，通过3点共面，假设面是Pos0，pos1，pos2构成，u=Pos1-Pos0，v=Pos2-Pos0,那么法向量n=u×v。则d=-(n×Pos0)。得到每个平面的平面公式n，d，从而得到A，B，C，D，(n的xn，yn，zn，d，就是a，b，c，d)。这里要注意构造面试后P点的顺序，d3D是按顺时针来构造面。法线都是由frustum里到外。 Near： (P0,P4,P5) n=(0,0,-1),d=0 0x+0y-1z+0=0 Far: (P2,P6,P7) n=(0,0,1),d=-1 0x+0y+1z-1=0 Left: (P0,P3,P7) n=(-1,0,0),d=-1 -1x+0y+0z-1=0 Right: (P1,P5,P6) n=(1,0,0),d=-1 1x+0y+0z-1=0 Top: (P4,P7,P6) n=(0,1,0),d=-1 0x+1y+0z-1=0 Bottom: (P0,P1,P2) n=(0,-1,0),d=-1 0x-1y+0z-1=0 我们假设这六个平面中某个平面上存在一个点P’(x’,y’,c’,1)，那它的平面方程为A’x’ + B’y’+ C’z’+ D’= 0，在进行投影变换之前的坐标为P(x,y,z,1)，在世界空间中的平面方程Ax + By + Cz + D = 0，如果P‘点在CVV中，那点P(x,y,z,1)必定在view Frustum中。 原理一 1.推理 由介绍我们可以得到下面的等式                   |A’|                      |A| (x’,y’,c’,1) × |B’| = 0 (x,y,z,1) × |B| = 0                   |C’|                      |C|                   |D’|                      |D| 同时(x,y,c,1) × Tvproj= (x‘,y’,z‘,1) 注意Tviewproj矩阵=Tview×Tproj(即是摄像机矩阵和投影矩阵相乘。是将世界坐标转换到视平面的变化矩阵) 结合着3个等式我们可以得到  |A|                     |A’|  |B| =Tviewproj × |B’|  (等式1)  |C|                    |C’|  |D|                    |D’| 通过等式1，我们可以求出6个面在世界坐标系下的平面方程Ax + By + Cz + D = 0 2代码 void CFrustum::InitFrustum1(const D3DXMATRIX& aoViewMatrix,const D3DXMATRIX& aoProjMatrix) { D3DXMATRIX loComboMatrix; D3DXMATRIX loInvComboMatrix; D3DXMatrixMultiply(&loComboMatrix,&aoViewMatrix,&aoProjMatrix); // 求得view * proj的逆矩阵. D3DXMatrixInverse(&loInvComboMatrix, NULL, &loComboMatrix ); // 如果经过投影矩阵，所有的三维世界坐标的点都变为(-1,-1,0) ~ (1,1,1)之间的值. // 将同次空间的临界值填入moCVVPos. moCVVPos[0].x = -1.0f; moCVVPos[0].y = -1.0f; moCVVPos[0].z = 0.0f; moCVVPos[1].x = 1.0f; moCVVPos[1].y = -1.0f; moCVVPos[1].z = 0.0f; moCVVPos[2].x = 1.0f; moCVVPos[2].y = -1.0f; moCVVPos[2].z = 1.0f; moCVVPos[3].x = -1.0f; moCVVPos[3].y = -1.0f; moCVVPos[3].z = 1.0f; moCVVPos[4].x = -1.0f; moCVVPos[4].y = 1.0f; moCVVPos[4].z = 0.0f; moCVVPos[5].x = 1.0f; moCVVPos[5].y = 1.0f; moCVVPos[5].z = 0.0f; moCVVPos[6].x = 1.0f; moCVVPos[6].y = 1.0f; moCVVPos[6].z = 1.0f; moCVVPos[7].x = -1.0f; moCVVPos[7].y = 1.0f; moCVVPos[7].z = 1.0f; //将cvv坐标转换回世界坐标 for(int i = 0; i < 8; i++ ) D3DXVec3TransformCoord( &moCVVPos[i], &moCVVPos[i], &loInvComboMatrix ); // 通过得到的世界坐标制作平截头体平面. // 向量由平截头体内部指向外部的平面. D3DXPlaneFromPoints(&moFrustumPlane[FRUSTUM_PLANE_FRONT], moCVVPos , moCVVPos+4, moCVVPos+5); // 近平面(near) D3DXPlaneFromPoints(&moFrustumPlane[FRUSTUM_PLANE_BACK], moCVVPos+2, moCVVPos+6, moCVVPos+7); // 远平面(far) D3DXPlaneFromPoints(&moFrustumPlane[FRUSTUM_PLANE_LEFT], moCVVPos , moCVVPos+3, moCVVPos+7); // 左平面(left) D3DXPlaneFromPoints(&moFrustumPlane[FRUSTUM_PLANE_RIGHT], moCVVPos+1, moCVVPos+5, moCVVPos+6); // 右平面(right) D3DXPlaneFromPoints(&moFrustumPlane[FRUSTUM_PLANE_TOP], moCVVPos+4, moCVVPos+7, moCVVPos+6); // 上平面(top) D3DXPlaneFromPoints(&moFrustumPlane[FRUSTUM_PLANE_BOTTOM], moCVVPos , moCVVPos+1, moCVVPos+2); // 下平面(bottom) } 上面的代码很容易理解，完全按原理来实现，但是当我们每次调用这个函数，我们每次都要求Tvproj矩阵的逆矩阵，同时还要重新用点来构造每个frustum平面，并且调用的是D3DXPlaneFromPoints函数。我们还有更好的方法吗？下面我们接着优化我们的代码，优化之前我们接着分析 原理二 1.推理 我们知道在P(x,y,z,1) 经过Tviewproj矩阵变换后得到点P’(x’,y’,z’,w’),这个点在前面的推导过程中,保证是在frustum的某个平面上的.这个时候我们知道如果对P的每个分量都除以w’就可以把P’归一化到一个长方体的空间，即x’/w’, y’/w’在[-1,1]区间，z’/w’在[0,1]区间，所以如果有一个投影转换后的点P1’,它的x1’,y1’在[-w’,w’]区间,z1’在[0,w’]区间，这个点肯定就在视锥体内.                                              |a11,a12,a13,a14| 假设Tviewproj = [v0,v1,v2,v3] = |a21,a22,a23,a24|                                              |a31,a32,a33,a34|                                              |a41,a42,a43,a44| 其中其中V0,v1,v2,v3是四个列向量. P ’= P×Tviewproj = (P?v0, P?v1, P?v2, P?v3 ) = (x’,y’,z’,w’) 根据上面的x的范围我们有: -w’ <= x’ 就是 -p’?v3 <= p’?v0 就是 p’?v0 + p’?v3 <= 0 得到 P’?(v0+v3) <= 0 把列向量换成矩阵的元素有 (x,y,z,1).(m_11 + m_14, m12 + m24, m13 + m34, m14 + m44 ) <= 0 就是 (m_11+m_14)*x + (m_12 + m_24)*y + (m_13 + m_34)*z + (m_14 + m_44)*1 <=0 简单地看这是一个 A*x + B*y + C*z + D*1 <= 0 描述了一个半空间，就是平面A*x + B*y + C*z + D*1 = 0右边的空间 所以我们知道是锥体的左裁减面为 (m_11+m_14)*x + (m_12 + m_24)*y + (m_13 + m_34)*z + (m_14 + m_44)*1= 0. 相应地可以计算出 6个裁减面 Left= (v0 + v3). Right =(v3 - v0) Bottom =(v3 + v1) Top = (v3 - v1 ) Near = (v2) Far = (v3 - v2) 裁减的时候把点带入公式Ax+By+Cz+Dw看大与0还是小与0就可以知道在平面的里面还是外面，在实际计算中需要对A，B，C，D进行归一化。因为我们在处理坐标的时候，点几乎都是经过归一化的。 2.代码 void CFrustum::InitFrustum(const D3DXMATRIX& aoViewMatrix,const D3DXMATRIX& aoProjMatrix) { D3DXMATRIX loComboMatrix; D3DXMatrixMultiply(&loComboMatrix,&aoViewMatrix,&aoProjMatrix); // calculate the planes // Near D3DXPLANE* lpPlane = &moFrustumPlane[FRUSTUM_PLANE_NEAR]; lpPlane->a = loComboMatrix._14 + loComboMatrix._13; lpPlane->b = loComboMatrix._24 + loComboMatrix._23; lpPlane->c = loComboMatrix._34 + loComboMatrix._33; lpPlane->d = loComboMatrix._44 + loComboMatrix._43; D3DXPlaneNormalize(lpPlane,lpPlane); // Far lpPlane = &moFrustumPlane[FRUSTUM_PLANE_FAR]; lpPlane->a = loComboMatrix._14 - loComboMatrix._13; lpPlane->b = loComboMatrix._24 - loComboMatrix._23; lpPlane->c = loComboMatrix._34 - loComboMatrix._33; lpPlane->d = loComboMatrix._44 - loComboMatrix._43; D3DXPlaneNormalize(lpPlane,lpPlane); //Left lpPlane = &moFrustumPlane[FRUSTUM_PLANE_LEFT]; lpPlane->a = loComboMatrix._14 + loComboMatrix._11; // Left lpPlane->b = loComboMatrix._24 + loComboMatrix._21; lpPlane->c = loComboMatrix._34 + loComboMatrix._31; lpPlane->d = loComboMatrix._44 + loComboMatrix._41; D3DXPlaneNormalize(lpPlane,lpPlane); // Right lpPlane = &moFrustumPlane[FRUSTUM_PLANE_RIGHT]; lpPlane->a = loComboMatrix._14 - loComboMatrix._11; lpPlane->b = loComboMatrix._24 - loComboMatrix._21; lpPlane->c = loComboMatrix._34 - loComboMatrix._31; lpPlane->d = loComboMatrix._44 - loComboMatrix._41; D3DXPlaneNormalize(lpPlane,lpPlane); // Top lpPlane = &moFrustumPlane[FRUSTUM_PLANE_TOP]; lpPlane->a = loComboMatrix._14 - loComboMatrix._12; lpPlane->b = loComboMatrix._24 - loComboMatrix._22; lpPlane->c = loComboMatrix._34 - loComboMatrix._32; lpPlane->d = loComboMatrix._44 - loComboMatrix._42; D3DXPlaneNormalize(lpPlane,lpPlane); // Bottom lpPlane = &moFrustumPlane[FRUSTUM_PLANE_BOTTOM]; lpPlane->a = loComboMatrix._14 + loComboMatrix._12; // Bottom lpPlane->b = loComboMatrix._24 + loComboMatrix._22; lpPlane->c = loComboMatrix._34 + loComboMatrix._32; lpPlane->d = loComboMatrix._44 + loComboMatrix._42; D3DXPlaneNormalize(lpPlane,lpPlane); } 第2种方法在没有看见之间，先看见的是代码 http://www.racer.nl/reference/vfc_markmorley.htm ，自己想了好久都没考虑清楚。最后看见解释，鄙视自己的数学逻辑推理。3d看来困难的就在于思考方式，同样的代码处理，第二种方式明显快很多。 判断裁剪 我们已经有了裁剪体的方程，当我们需要裁剪一个顶点的时候，这六个方程已经足够了。但是我们要判断一个区域的可见性时，我们进行一些额外的计算。如图2所示，一个物体和投影体的关系大致可以分为：包围、被包围、相交和相离四种情况。图中最大的浅蓝色的矩形包围了整个投影体。深绿色的小矩形则完全被投影体包围。浅绿色的矩形和投影体相交。这三种情况下物体都是可以被看到的。剩下红色的矩形则和投影体相离、只有它完全不可见 图2 当处理节点的可见性的时候，由于节点的不规则性。我们还需要引入包围体的概念。所谓的包围体，就是用一个比较简单的几何体去度量另外一个比较复杂的几何体，让它刚好能包围另外一个几何体。比较合适的包围体外形有矩形、正方形和球体。其中球体处理最为简单，但是近似度也最差。我们为每一个节点都建立一个包围体，只要测试这个包围体，我们就可以决定一个节点的可见性，由于包围体肯定大于这个节点，因此我们可以保证不会有任何可见的节点被裁剪在投影体之外 BOOL CFrustum::PointInFrustum( float afX, float afY, float afZ ) { // A*x+B*y+C*z+D = 0 is in plane, for(int i = 0; i < FRUSTUM_PLANE_COUNT; i++ ) { D3DXPLANE &loPlane = moFrustumPlane[i]; //减少函数调用 //if(D3DXPlaneDotCoord(&moFrustumPlane[i], &D3DXVECTOR3(afX, afY, afZ)) < 0.0f) if(loPlane.a * afX + loPlane.b * afY + loPlane.c * afZ + loPlane.d < 0.0f) return FALSE; } return TRUE; } BOOL CFrustum::SphereInFrustum( float afX, float afY, float afZ, float AfRadius ) { // A*x+B*y+C*z+D = -radius is in plane, for(int i = 0; i < FRUSTUM_PLANE_COUNT; i++ ) { D3DXPLANE &loPlane = moFrustumPlane[i]; //减少函数调用，直接用公式运算 //if(D3DXPlaneDotCoord(&moFrustumPlane[i], &D3DXVECTOR3(afX, afY, afZ)) < -AfRadius) if( loPlane.a * afX + loPlane.b * afY + loPlane.c * afZ + loPlane.d <= -AfRadius ) { return false; } } return TRUE; } BOOL CFrustum::CubeInFrustum( float afX, float afY, float afZ, float aiSize,BOOL & abIsCompletelyContained ) { float lfAlfaX = afX + aiSize; float lfDeltaX = afX - aiSize; float lfAlfaY = afY + aiSize; float lfDeltaY = afY - aiSize; float lfAlfaZ = afZ + aiSize; float lfDeltaZ = afZ - aiSize; DWORD ldwNumPointInFrustum = 0; for(int i = 0; i < FRUSTUM_PLANE_COUNT; i++ ) { int j = 8; BOOL lbIsInAllPlanes = TRUE; D3DXPLANE &loPlane = moFrustumPlane[i]; //if(D3DXPlaneDotCoord(&loPlane[i], &D3DXVECTOR3(lfDeltaX,lfDeltaY, lfDeltaZ)) < 0.0f) if(loPlane.a * lfDeltaX + loPlane.b * lfDeltaY + loPlane.c * lfDeltaZ + loPlane.d < 0.0f) { lbIsInAllPlanes = FALSE; j--; } //if(D3DXPlaneDotCoord(&loPlane[i], &D3DXVECTOR3(lfAlfaX,lfDeltaY, lfDeltaZ)) < 0.0f) if(loPlane.a * lfAlfaX + loPlane.b * lfDeltaY + loPlane.c * lfDeltaZ + loPlane.d < 0.0f) { lbIsInAllPlanes = FALSE; j--; } //if(D3DXPlaneDotCoord(&loPlane[i], &D3DXVECTOR3(lfDeltaX,lfAlfaY, lfDeltaZ)) < 0.0f) if(loPlane.a * lfDeltaX + loPlane.b * lfAlfaY + loPlane.c * lfDeltaZ + loPlane.d < 0.0f) { lbIsInAllPlanes = FALSE; j--; } //if(D3DXPlaneDotCoord(&loPlane[i], &D3DXVECTOR3(lfAlfaX,lfAlfaY, lfAlfaZ)) < 0.0f) if(loPlane.a * lfAlfaX + loPlane.b * lfAlfaY + loPlane.c * lfDeltaZ + loPlane.d < 0.0f) { lbIsInAllPlanes = FALSE; j--; } //if(D3DXPlaneDotCoord(&loPlane[i], &D3DXVECTOR3(lfDeltaX,lfDeltaY, lfAlfaZ)) < 0.0f) if(loPlane.a * lfDeltaX + loPlane.b * lfDeltaY + loPlane.c * lfAlfaZ + loPlane.d < 0.0f) { lbIsInAllPlanes = FALSE; j--; } //if(D3DXPlaneDotCoord(&loPlane[i], &D3DXVECTOR3(lfAlfaX,lfDeltaY, lfAlfaZ)) < 0.0f) if(loPlane.a * lfAlfaX + loPlane.b * lfDeltaY + loPlane.c * lfAlfaZ + loPlane.d < 0.0f) { lbIsInAllPlanes = FALSE; j--; } //if(D3DXPlaneDotCoord(&loPlane[i], &D3DXVECTOR3(lfDeltaX,lfDeltaY, lfAlfaZ)) < 0.0f) if(loPlane.a * lfDeltaX + loPlane.b * lfDeltaY + loPlane.c * lfAlfaZ + loPlane.d < 0.0f) { lbIsInAllPlanes = FALSE; j--; } //if(D3DXPlaneDotCoord(&loPlane[i], &D3DXVECTOR3(lfAlfaX,lfAlfaY, lfAlfaZ)) < 0.0f) if(loPlane.a * lfAlfaX + loPlane.b * lfAlfaY + loPlane.c * lfAlfaZ + loPlane.d < 0.0f) { lbIsInAllPlanes = FALSE; j--; } // if none contained, return FALSE. if(0 == j) return FALSE; // update counter if they were all in front of plane. if(lbIsInAllPlanes) ++ldwNumPointInFrustum; } abIsCompletelyContained = (BOOL)(ldwNumPointInFrustum == FRUSTUM_PLANE_COUNT); return TRUE; }

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