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Randomized Group-Greedy Method for Data-Driven Sensor Selection

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引用格式：Nagata, Takayuki, et al. “Randomized group-greedy method for data-driven sensor selection.” arXiv preprint arXiv:2205.04161 (2022).pdf链接

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Abtract

将随机贪心传感器选择算法直接应用于组贪心算法。为了补偿随机选择传感器子集时，该缩小后的子集对解的劣化(随机选择一部分会导致最优解的组合不在组算法的考虑范围内)，作者提出使用commen greedy过采样得到传感器集合作为缩小后的子集的一部分（精英子集），而另一部分仍然由随机贪心法在$S/S_c$的子集内选择，共同组成用于组贪心法的输入。实验表明在花费相同的计算成本时，定制的方法比原始组贪心法优化结果更好，这是因为随机算法减少了候选集的数量，因此允许选择更大的组大小。

The problem of sensor selection

物理现象的测量在科学和工程领域具有重要的意义，可能设计到表面或体积的测量，并且这些问题测量和求解在大多数情况下只能由离散的点传感器执行。虽然每个传感器只能测量特定位置的物理量，但可以求解线性逆问题从稀疏的点传感器测量中恢复完整的感兴趣的信号。因此仔细考量并确定传感器的位置，通过最大化稀疏观测获得的信息，期望使用最少数量的传感器测量，这就引出了传感器选择问题。传感器选择是组合优化中的NP-hard问题，可以通过全局优化的暴力搜索或者分支定界法得到最优解，但这只适合少量传感器选择问题，对于中等规模的问题，计算成本也是不可接受的。转而追求传感器选择的次优解是科研人员关注的重点。

The local optimization of the suboptimization obtained by Greedy search

对于贪心算法获得的传感器子集的性能的改进是通过局部优化技术进行的。例如通过交换选定传感器和未选定传感器，选择目标函数最大化的方案（2-opt）来改进次优解。而有人提出group-greedy（GG）方法，可以得到更好的传感器子集。 他们的方法迭代地保留了一组次优传感器子集，其中“组”表示某个目标值意义上(A, D, E最优）的前 L 个传感器子集。 这样，不仅考虑最好的配置，还考虑次优的配置，可能比每一步只追求最好的配置得到更好的结果。 虽然计算成本随着组大小的增加而增加，但是当组大小足够大时，组贪心法可以获得精确解。

Contribution

传感器选择问题是从 $n$ 个潜在传感器中选择 $p$ 个传感器。 每个传感器给出一个观测向量 $y$，它是潜在状态变量 $z$ 的线性函数。
• 通过引入随机化技术，组贪心法的计算成本显着降低。
• 所提出的方法可以用与普通贪心法几乎相同的计算时间来解决大规模问题，并且可以根据目标值获得更好的传感器子集。
• 由于减少了计算成本，与原始组贪婪法相比，可以进行更大组规模的搜索。
• 通过将使用低成本方法（例如常见的贪心法）过采样获得的精英传感器候选者添加到传感器候选者的集合中，进一步提高所选传感器子集的性能，代价是略微增加的计算成本。

sensors selection problem

$$y=HUz+v=Cz+v$$
其中$z$是潜变量，$v$是$z$生成的均匀独立高斯噪声；$y\in {\mathbb{R}}^p$是观测向量；$H\in {\mathbb{R}}^{p\times n}$是传感器位置矩阵；$U\in {\mathbb{R}}^{n\times r}$是传感器候选矩阵；$C\in {\mathbb{R}}^{p\times r}$是测量矩阵；$p$、$n$ 和 $r$ 分别表示传感器的数量、潜在传感器位置的数量和潜在变量的数量。
传感器位置矩阵 $H$ 是指示传感器位置的稀疏矩阵。 $H$ 的每个行向量是一个单位向量，每个行向量中单位元素的位置对应于从 $n$ 个潜在传感器位置中选择的激活传感器位置。 激活传感器的位置是根据实验的优化设计来选择的。 经常使用的 E-optimality和 D-optimality 标准被认为如下：
$$f_E=\{\begin{array}{rl}& {\lambda }_{min}(C{C}^T)p\le r\\ & {\lambda }_{min}(C^{T}C)p>r\end{array}$$
$$f_D=\{\begin{array}{rl}& det(C{C}^T)p\le r\\ & det(C^{T}C)p>r\end{array}$$
在生成组贪婪算法的输入之前生成缩小的传感器候选矩阵，一个可能的问题是有价值的传感器位置可能被截断，导致优化结果变差。
**解决办法：**将低成本方法选择的位置加入到传感器候选矩阵的随机子集中。（组贪婪策略选择的位置包括一般贪心方法的选择的传感器位置）

伪代码

由于D-最优性是单调子模函数，因此，GG和ERGG对于D-优化的效果并不好，这是因为子模函数利用传统贪心算法是可以找到最优解的，但是ERGG和GG相比性能相似或者更好。E-最优性不是单调子模函数，常见的贪心算法效率不高。
当目标函数的评价次数与普通贪心法相同时，随机分组贪心法在欠采样条件下的性能不如普通贪心法，但在过采样条件下性能优于普通贪心法。 通过引入精英策略，换取计算成本的小幅增加，从欠采样到过采样的条件下都超越了普通贪心法。 此外，虽然 ERGG 的评估数量低于原始组贪婪法，但在过采样条件下可以获得与原始组贪婪法相同的性能水平。