算法练习——高精度、前缀和

AcWing算法基础课第一章的练习

一、 高精度

大整数A、B（位数为$10 ^ 6 $）, $a<=10000$

常考：

• A + B
• A - B
• A × a
• A ÷ a

1. 高精度加法

思想是，用一个数 t 表示进位，对于a, b中的第 i 位，当该位存在，就加到 t 里面去，然后将 t % 10 的余数放到 C 里面， 再将 t /= 10

#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;

const int N = 1e6 + 10;

vector<int> add(vector<int>& a, vector<int>& b) {
     //&代表引用，不用新建数组空间 
	vector<int> c;
	int t = 0;  //代表进位 
	for(int i = 0; i < a.size() || i < b.size(); i ++ ) {
   
		if(i < a.size()) t += a[i];
		if(i < b.size()) t += b[i];
		
		c.push_back(t % 10);
		t /= 10;
	}
	
	if(t) c.push_back(1);
	return c;
}

int main() {
   
	string a, b;
	vector<int> A, B;
	
	cin >> a >> b;   // a = "123456"
	
	for(int i = a.size() - 1; i >= 0; i -- ) A.push_back(a[i] - '0'); //[6, 5, 4, 3, 2, 1]
	for(int i = b.size() - 1; i >= 0; i -- ) B.push_back(b[i] - '0');
	
	vector<int> C = add(A, B);
	
	for(int i = C.size() - 1; i >= 0; i -- ) printf("%d", C[i]);
	
	return 0;
}

2. 高精度减法

首先用一个函数 cmp 比较 A 和 B 的大小，判断是否有 A >= B，保证函数 sub (A, B) 的结果一定是个正数。

在函数 sub(A, B) 中，用 t 表示新的位上的数。对于 A 的每一位，让 t = A[i] - t。如果 B 还没减完，再让 t = t - B[i].

然后将 t 加入 C 中。如果 t 大于 0,直接加到 C 中；如果 t 小于 0, t + 10 之后再加到 C 中。可以将这一步简化为 (t + 10) % 10。

如果 t < 0，让 t = 1。（那么在下一轮就会将该借位减掉）

最后还需要去掉 C 中的

#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;

//判断是否有 A >= B 
bool cmp(vector<int>& A, vector<int>& B) {
   
	if(A.size() != B.size()) return A.size() > B.size();
	for(int i = A.size() - 1; i >= 0; i -- ) {
   
		if(A[i] != B[i]) {
   
			return A[i] > B[i];
		}
	} 
	return true;
}

// C = A - B
vector<int> sub(vector<int>& A, vector<int>& B) {
   
	vector<int> C;
	
	for(int i = 0, t = 0; i < A.size(); i ++ ) {
   
		t = A[i] - t;
		if(i < B.size()) t -= B[i];
		C.push_back((t + 10) % 10);
		if(t < 0) t = 1;
		else t = 0;
	}
	
	while(C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();
	return C;

}

int main() {
   
	string a, b;
	vector<int> A, B;
	
	cin >> a >> b;
	for(int i = a.size() - 1; i >= 0; i -- ) A.push_back(a[i] - '0');
	for(int i = b.size() - 1; i >= 0; i -- ) B.push_back(b[i] - '0');
	
	if(cmp(A, B)) {
   
		auto c = sub(A, B);
		for(int i = c.size() - 1; i >= 0; i -- ) printf("%d", c[i]); 
	}else {
   
		auto c = sub(B, A);
		printf("-");
		for(int i = c.size() - 1; i >= 0; i -- ) printf("%d", c[i]);
	}
	
	return 0;
}

3. 高精度乘法

实现的是大整数乘以小一点的整数的情况。

同样，我们用 vector 来存储大整数。用 t 来表示进位。我们遍历 A 中的每一位，将 t += A[i] * b。然后把 t % 10的结果放在 C 后面，将 t 去掉最后一位（t /= 10）

#include<iostream>
#include<vector>

using namespace std;


vector<int> mul(vector<int>& A, int b) {
   
	vector<int> C;
	
	int t = 0;
	for(int i = 0; i < A.size() || t; i ++ ) {
   
		if(i < A.size()) t += A[i] * b;
		C.push_back(t % 10);
		t /= 10;
	}
	
	return C;
}

int main() {
   
	string a;
	int b;
	
	cin >> a >> b;
	
	vector<int> A;
	for(int i = a.size() - 1; i >= 0; i -- ) A.push_back(a[i] - '0');
	
	auto C = mul(A, b);
	
	for(int i = C.size() - 1; i >= 0; i -- ) printf("%d", C[i]);
	
	return 0;
} 

4. 高精度除法

用来求大整数 A 除以小整数 b 的商和余数。

商是 C， 余数是 r。

从最高位开始遍历 A 的每一位，余数 r = r * 10 + A[i]. 然后将 r / b 的结果放入商中， 再将余数 r = r % b。（模拟数学计算中的过程）

最后得到的商的顺序是反的，记得重新倒过来。

去掉前缀0。

#include<iostream>
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;


// A / b, 商是 C， 余数是 r
vector<int> div(vector<int> &A, int b, int &r) {
   
	vector<int> C;
	r = 0;
	for(int i = A.size() - 1; i >= 0; i -- ) {
   
		r = r * 10 + A[i];
		C.push_back(r / b);
		r %= b;
	}
	reverse(C.begin(), C.end());
	while(C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();
	
	return C;
} 

int main() {
   
	string a;
	int b;
	
	cin >> a >> b;
	
	vector<int> A;
	for(int i = a.size() - 1; i >= 0;