本文的题目以及解题思路均来自AcWing算法提高课。部分题目在AcWing中收费，收费的题目在首页 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)或者Home - HydroOJ中也能找到。题目大多数是复制粘贴的，副标题可能没有对齐。
采药
辰辰是个天资聪颖的孩子，他的梦想是成为世界上最伟大的医师。
为此，他想拜附近最有威望的医师为师。
医师为了判断他的资质，给他出了一个难题。
医师把他带到一个到处都是草药的山洞里对他说：“孩子，这个山洞里有一些不同的草药，采每一株都需要一些时间，每一株也有它自身的价值。我会给你一段时间，在这段时间里，你可以采到一些草药。如果你是一个聪明的孩子，你应该可以让采到的草药的总价值最大。”
如果你是辰辰，你能完成这个任务吗？
输入格式
输入文件的第一行有两个整数 TT 和 MM，用一个空格隔开，TT 代表总共能够用来采药的时间，MM 代表山洞里的草药的数目。
接下来的 MM 行每行包括两个在 11 到 100100 之间（包括 11 和 100100）的整数，分别表示采摘某株草药的时间和这株草药的价值。
输出格式
输出文件包括一行，这一行只包含一个整数，表示在规定的时间内，可以采到的草药的最大总价值。
数据范围
1≤T≤10001≤T≤1000,
1≤M≤1001≤M≤100
输入样例：
70 3
71 100
69 1
1 2
输出样例：
3
思路和代码
非常经典的01背包问题。
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n, m;
int f[N];
int main() {
cin >> m >> n;
for(int i = 1; i <= n; i ++ ) {
int v, w;
cin >> v >> w;
for(int j = m; j >= v; j -- ) {
f[j] = max(f[j], f[j - v] + w);
}
}
cout << f[m] << endl;
return 0;
}
装箱问题
[P1049 NOIP2001 普及组] 装箱问题 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)
题目描述
有一个箱子容量为 V V V，同时有 n n n 个物品，每个物品有一个体积。
现在从 n n n 个物品中，任取若干个装入箱内（也可以不取），使箱子的剩余空间最小。输出这个最小值。
输入格式
第一行共一个整数 V V V，表示箱子容量。
第二行共一个整数 n n n，表示物品总数。
接下来 n n n 行，每行有一个正整数，表示第 i i i 个物品的体积。
输出格式
- 共一行一个整数，表示箱子最小剩余空间。
样例 #1
样例输入 #1
24
6
8
3
12
7
9
7
样例输出 #1
0
提示
对于 100 % 100\% 100% 数据，满足 0 < n ≤ 30 0<n \le 30 0<n≤30， 1 ≤ V ≤ 20000 1 \le V \le 20000 1≤V≤20000。
【题目来源】
NOIP 2001 普及组第四题
思路和代码
注意这一题的价值就是体积。
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 20010;
int n, m;
int f[N];
int main() {
cin >> m >> n;
for(int i = 1; i <= n; i ++ ) {
int v;
cin >> v;
for(int j = m; j >= v; j -- ) {
f[j] = max(f[j], f[j - v] + v);
}
}
cout << m - f[m] << endl;
return 0;
}
宠物小精灵之收服
U266184 宠物小精灵之收服 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)
题目描述
宠物小精灵是一部讲述小智和他的搭档皮卡丘一起冒险的故事。
一天，小智和皮卡丘来到了小精灵狩猎场，里面有很多珍贵的野生宠物小精灵。小智也想收服其中的一些小精灵。然而，野生的小精灵并不那么容易被收服。对于每一个野生小精灵而言，小智可能需要使用很多个精灵球才能收服它，而在收服过程中，野生小精灵也会对皮卡丘造成一定的伤害（从而减少皮卡丘的体力）。当皮卡丘的体力小于等于0时，小智就必须结束狩猎（因为他需要给皮卡丘疗伤），而使得皮卡丘体力小于等于0的野生小精灵也不会被小智收服。当小智的精灵球用完时，狩猎也宣告结束。
我们假设小智遇到野生小精灵时有两个选择：收服它，或者离开它。如果小智选择了收服，那么一定会扔出能够收服该小精灵的精灵球，而皮卡丘也一定会受到相应的伤害；如果选择离开它，那么小智不会损失精灵球，皮卡丘也不会损失体力。
小智的目标有两个：主要目标是收服尽可能多的野生小精灵；如果可以收服的小精灵数量一样，小智希望皮卡丘受到的伤害越小（剩余体力越大），因为他们还要继续冒险。
现在已知小智的精灵球数量和皮卡丘的初始体力，已知每一个小精灵需要的用于收服的精灵球数目和它在被收服过程中会对皮卡丘造成的伤害数目。请问，小智该如何选择收服哪些小精灵以达到他的目标呢？
输入格式
输入数据的第一行包含三个整数：N(0<N<1000)，M(0<M<500)，K(0<K<100)，分别代表小智的精灵球数量、皮卡丘初始的体力值、野生小精灵的数量。
之后的K行，每一行代表一个野生小精灵，包括两个整数：收服该小精灵需要的精灵球的数量，以及收服过程中对皮卡丘造成的伤害。
输出格式
输出为一行，包含两个整数：C，R，分别表示最多收服C个小精灵，以及收服C个小精灵时皮卡丘的剩余体力值最多为R。
样例 #1
样例输入 #1
10 100 5
7 10
2 40
2 50
1 20
4 20
样例输出 #1
3 30
样例 #2
样例输入 #2
10 100 5
8 110
12 10
20 10
5 200
1 110
样例输出 #2
0 100
提示
对于样例输入1：小智选择：(7,10) (2,40) (1,20) 这样小智一共收服了3个小精灵，皮卡丘受到了70点伤害，剩余100-70=30点体力。所以输出3 30。
对于样例输入2：小智一个小精灵都没法收服，皮卡丘也不会收到任何伤害，所以输出0 100。
思路和代码
注意这道题有两个限制条件，多了一个维度。
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 1010, M = 510;
int n, m, k;
int f[N][M];
int main() {
cin >> n >> m >> k;
for(int i = 1; i <= k; i ++ ) {
int v1, v2;
cin >> v1 >> v2;
for(int j = n; j >= v1; j --) {
for(int l = m; l >= v2; l -- ) {
f[j][l] = max(f[j][l], f[j - v1][l - v2] + 1);
}
}
}
int res;
for(int i = 1; i <= m; i ++ ) {
if(f[n][i] == f[n][m]) {
res = i;
break;
}
}
cout << f[n][m] << " " << m - res << endl;
return 0;
}
数字组合
给定 N 个正整数 A1,A2,…,AN，从中选出若干个数，使它们的和为 M，求有多少种选择方案。
输入格式
第一行包含两个整数 N 和 M。
第二行包含 N 个整数，表示 A1,A2,…,AN。
输出格式
包含一个整数，表示可选方案数。
数据范围
1≤N≤100,
1≤M≤10000,
1≤Ai≤1000,
答案保证在 int 范围内。
输入样例：
4 4
1 1 2 2
输出样例：
3
思路和代码
用f[i, j]表示前i个数字，和恰好为j的方案数。
可以将f[i, j]的来源分为：包括第i个数字和不包括第i个数字。
如果不包括第i个数字，那么f[i, j] = f[i - 1, j]
如果包括第i个数字，那么f[i, j] = f[i - 1, j - a]
所以f[i, j] = f[i - 1, j] + f[i - 1, j - a]
最后优化为一维数组
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 10010;
int n, m;
int f[N]; //f[i]表示和为i的方案数
int main() {
int n;
cin >> n >> m;
f[0] = 1;
for(int i = 1; i <= n; i ++ ) {
int a;
cin >> a;
for(int j = m; j >= a; j -- ) {
f[j] = f[j] + f[j - a];
}
}
cout << f[m] << endl;
return 0;
}
买书
题目描述
小明手里有n元钱全部用来买书，书的价格为10元，20元，50元，100元。
问小明有多少种买书方案？（每种书可购买多本）
输入
一个整数 n，代表总共钱数。（0 ≤ n ≤ 1000）
输出
一个整数，代表选择方案种数。
样例
Sample Input 1
20
Sample Output 1
2
来源
一本通在线评测
思路和代码
这是一个完全背包问题。
f[i, j]表示前i个数字，和恰好为j的方案数。
f[i, j] = f[i, j - v] + f[i, j];
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n;
int a[4] = {
10, 20, 50, 100};
int f[N];
int main() {
cin >> n;
f[0] = 1;
for(int i = 0; i < 4; i ++ ) {
for(int j = a[i]; j <= n; j ++ ) {
f[j] = f[j] + f[j - a[i]];
}
}
cout << f[n] << endl;
return 0;
}
货币系统
在网友的国度中共有 n 种不同面额的货币，第 i 种货币的面额为 a[i]，你可以假设每一种货币都有无穷多张。
为了方便，我们把货币种数为 n、面额数组为 a[1…n] 的货币系统记作 (n,a)。
在一个完善的货币系统中，每一个非负整数的金额 x 都应该可以被表示出，即对每一个非负整数 x，都存在 n 个非负整数 t[i] 满足 a[i]×t[i] 的和为 x。
然而，在网友的国度中，货币系统可能是不完善的，即可能存在金额 xx 不能被该货币系统表示出。
例如在货币系统 n=3, a=[2,5,9] 中，金额 1,3 就无法被表示出来。
两个货币系统 (n,a) 和 (m,b) 是等价的，当且仅当对于任意非负整数 x，它要么均可以被两个货币系统表出，要么不能被其中任何一个表出。
现在网友们打算简化一下货币系统。
他们希望找到一个货币系统 (m,b)，满足 (m,b) 与原来的货币系统 (n,a) 等价，且 m 尽可能的小。
他们希望你来协助完成这个艰巨的任务：找到最小的 m。
输入格式
输入文件的第一行包含一个整数 TT，表示数据的组数。
接下来按照如下格式分别给出 TT 组数据。
每组数据的第一行包含一个正整数 nn。
接下来一行包含 nn 个由空格隔开的正整数 a[i]a[i]。
输出格式
输出文件共有 TT 行，对于每组数据，输出一行一个正整数，表示所有与 (n,a)(n,a) 等价的货币系统 (m,b)(m,b) 中，最小的 mm。
数据范围
1≤n≤1001≤n≤100,
1≤a[i]≤250001≤a[i]≤25000,
1≤T≤201≤T≤20
输入样例：
2
4
3 19 10 6
5
11 29 13 19 17
输出样例：
2
5
思路与代码
这是一个完全背包问题。
用f[i, j]表示前i个数字的和恰好为j的组合的个数。
f[i, j] = f[i - 1, j] + f[i, j - a[i]]
要注意res不要最后才算，第一次遍历到a[i]的时候就要判断f[a[i]]是否为0，因为a[i]也会使f[a[i]]至少为1.
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N = 25010, M = 110;
int t, n;
int a[M];
int f[N];
int main() {
cin >> t;
while(t -- ) {
cin >> n;
for(int i = 1; i <= n; i ++ ) {
cin >> a[i];
}
sort(a + 1, a + n + 1);
memset(f, 0, sizeof f);
f[0] = 1;
int res = 0;
for(int i = 1; i <= n; i ++ ) {
if(f[a[i]] == 0) res ++;
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