动态规划——最长上升子序列模型

最长上升子序列模型是动态规划问题的一个经典模型。

最长上升子序列模型有两种解法。第一种解法时间复杂度为O(N2)。它用一个数组f[N]存储从第1个位置开始，到第i个位置的最长上升子序列的长度。状态转移方程为:f[i] = max(f[i], f[j] + 1)。其中a[i] > a[j], 并且j取值为1 ~ i - 1。

模板：

for(int i = 1; i <= n; i ++ ) {
   
    f[i] = 1;
	for(int j = 1; j < i; j ++ ) {
   
        if(a[i] > a[j]) f[i] = max(f[i], f[j] + 1);
    }
}

最长下降子序列只需要将i从后往前遍历即可：

for(int i = n; i >= 1; i -- ) {
   
    for(int j = n; j > i; j -- ) {
   
        if(a[i] > a[j]) f[i] = max(f[i], f[j] + 1);
    }
}

第二种解法时间复杂度为O(nlogn)。它用一个数组g[N]存储长度为i的子序列的最后一个元素的值。如果是求上升子序列，那么数组g应该也是上升的；如果是求下降子序列，那么数组g是下降的。

以最长上升子序列为例，数组g应该是逐渐上升的。对于数组a中的每个元素a[i]，我们用二分法将a[i]插入到g中小于a[i]的最大的数后面。模板如下：

int res = 0; //代表数组g的长度
for(int i = 1; i <= n; i ++ ) {
   
    int l = 0, r = res;
    while(l < r) {
   
        int mid = (l + r + 1) >> 1;
        if(g[mid] < a[i]) l = mid;
        else r = mid - 1;
    }
    g[l + 1] = a[i];
    res = max(res, l + 1);
}

如果是最长下降子序列，那么应该将a[i]插入到g中大于a[i]的最小的数后面：

int res = 0;
for(int i = 1; i <= n; i ++ ) {
   
    int l = 0, r = res;
    while(l < r) {
   
        int mid = (l + r + 1) >> 1;
        if(g[mid] > a[i]) l = mid;
        else r = mid - 1;
    }
    g[l + 1] = a[i];
    res = max(res, l + 1);
}

如果要求一个数组中上升子序列的个数的最小值，可以用数组g[N]存储长度为i的子序列的最后一个元素的值。模板如下：

res = 0; //数组g的长度
for(int i = 1; i <= n; i ++ ) {
   
	int k = 0;
	while(k < res && a[i] < g[k]) k ++;
	g[k] = a[i];
	if(k >= res) res ++;
}

本文中的题目和解题思路均来自AcWing算法提高课。因为题目都是复制粘贴的，所以副标题缩进有点问题，格式不统一。最后三道题比较难，前面都是模板题。

怪盗基德的滑翔翼

怪盗基德的滑翔翼 - Problem Detail - HydroOJ

【题目描述】

怪盗基德是一个充满传奇色彩的怪盗，专门以珠宝为目标的超级盗窃犯。而他最为突出的地方，就是他每次都能逃脱中村警部的重重围堵，而这也很大程度上是多亏了他随身携带的便于操作的滑翔翼。

有一天，怪盗基德像往常一样偷走了一颗珍贵的钻石，不料却被柯南小朋友识破了伪装，而他的滑翔翼的动力装置也被柯南踢出的足球破坏了。不得已，怪盗基德只能操作受损的滑翔翼逃脱。

假设城市中一共有N幢建筑排成一条线，每幢建筑的高度各不相同。初始时，怪盗基德可以在任何一幢建筑的顶端。他可以选择一个方向逃跑，但是不能中途改变方向（因为中森警部会在后面追击）。因为滑翔翼动力装置受损，他只能往下滑行（即：只能从较高的建筑滑翔到较低的建筑）。他希望尽可能多地经过不同建筑的顶部，这样可以减缓下降时的冲击力，减少受伤的可能性。请问，他最多可以经过多少幢不同建筑的顶部(包含初始时的建筑)？

【输入】

输入数据第一行是一个整数K(K<100)，代表有K组测试数据。

每组测试数据包含两行：第一行是一个整数N(N<100)，代表有N幢建筑。第二行包含N个不同的整数，每一个对应一幢建筑的高度h(0<h<10000)，按照建筑的排列顺序给出。

【输出】

对于每一组测试数据，输出一行，包含一个整数，代表怪盗基德最多可以经过的建筑数量。

【输入样例】

3 
8 
300 207 155 299 298 170 158 65 
8 65 158 170 298 299 155 207 300 
10 
2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 

【输出样例】

6
6 
9 

思路和代码

一道简单的最长上升子序列模板题，分别求最长上升子序列和最长下降子序列，再将求最大值即可。

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;

const int N = 110;

int k, n;
int h[N];
int f[N], g[N];

int main() {
   
	cin >> k;
	while(k -- ) {
   
		cin >> n;
		for(int i = 1; i <= n; i ++ ) {
   
			scanf("%d", &h[i]);
		}
		
		for(int i = 1; i <= n; i ++ ) {
   
			f[i] = 1;
			for(int j = 1; j < i; j ++ ) {
   
				if(h[j] > h[i]) f[i] = max(f[i], f[j] + 1);
			}
		}
		
		for(int i = n; i >= 1; i -- ) {
   
			g[i] = 1;
			for(int j = n; j > i; j -- ) {
   
				if(h[j] > h[i]) g[i