《微积分：一元函数微分学》——经典不等式

SongBai1997

于 2019-08-09 10:37:20 发布

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分类专栏：数学

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本文深入探讨了多种数学不等式，包括不等式的推广形式，以及特定条件下等号成立的情况。通过离散和连续情况的分析，展示了不等式在实数集上的应用，并特别强调了正数集合中不等式的特性。

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不等式1

设 a，b 为实数，则有

$(1)\quad2|ab|\leq a^{2}+b^{2}$

$(2)\quad |a\pm b|\leq |a|\pm |b|$

$(3)\quad |\quad|a|-|b|\quad|\leq |a-b|$

不等式（2）的推广

离散情况：设 a1、a2、a3、...、an为实数，则

$|a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdot\cdot\cdot+a_{n}|\leq |a_{1}|+|a_{2}|+\cdot\cdot\cdot+|a_{n}|$

连续情况：设 f(x) 在 [a,b] 上可积，则

$|\int_{a}^{b}f(x)dx|\leq\int_{a}^{b}|f(x)|dx\quad (a<b)$

不等式2

设 a1、a2、a3、...、an > 0，则

$(1)\quad\frac{a_{1}+a_{2}+\cdot\cdot\cdot+a_{n}}{n}\geq \sqrt[n]{a_{1}a_{2}\cdot\cdot\cdot a_{n}}$

(当且仅当 a1=a2=...=an 时等号成立)

$(2)\quad |\frac{a_{1}+a_{2}+\cdot\cdot\cdot+a_{n}}{n}| \leq \sqrt{\frac{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdot\cdot\cdot+a_{n}^{2}}{n}}$

(当且仅当 a1=a2=...=an 时等号成立)

通常我们用以下两种特殊情况

$n=2\quad\sqrt{ab}\leq\frac{a+b}{2}\leq\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}}\quad(a,b>0)$

$n=3\quad\sqrt[3]{abc}\leq\frac{a+b+c}{3}\leq\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}}\quad(a,b,c>0)$

不等式3

设

$x,y,p,q > 0,\quad\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$

则有

$xy \leq \frac{x^{p}}{p}+\frac{y^{q}}{q}$

不等式4

$(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})\geq(ac+bd)^{2}$

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