计算机中的位操作、补码、反码、原码

1、说明

计算机中的符号数有三种表示方法，即原码、反码和补码。三种表示方法均有符号位和数值位两部分。
在计算机中，数值一律用补码来表示和存储。原因在于，使用补码可以将符号位和数值域同一处理；同时，加法和减法也可以统一处理。此外补码和原码相互转换，其运算过程是相同的，不需要额外的硬件电路。

基本原理：
1. 一个负数（或原码）与其补数（补码）相加，和为模。
2. 对一个整数的补码再求补码等于该整数自身。
3. 补码的正零与负零表示方法相同。

1.1模

“模”是指一个计量系统的计数范围。如时钟等。计算机可以看成一个计量机器，它也有一个范围，即都存在一个“模”。
例如：
时钟的范围是0-11，模=12 表示n为的计算机计量范围是0~2^(n)-1,模=2^(n).
模实际上是计量器产生的溢出量，它的值在计量器上表示不出来，计量器只能表示出模的余数。任何有mo的计量器，均可化减法为加法运算。

例如：假设当前时针指向10点，而准确时间是6点，调整时间可以有以下两种拨法：一种是倒拨4小时，即10-4=6；另一种是顺拨8小时：10+8=12+6=6.

在以12模的系统中，加8和减4效果是一样的。因此凡是减4运算可以用加8来代替。对“模”而言，8和4互为补数，实际上，以12模的系统中，11和1，10和2，9和3，7和5，6和6都有这个特性。共同的特点是两者相加等于模。

对于计算机，其概念和方法完全一样。n位计算机，设n=8,所能表示的最大数为11111111，若再加1成为100000000，但因为只有8位，则最高位丢失。又回到了00000000，所以8位二进制系统的模为2^8.在这样的系统中减法问题也可以转化为加法问题，只需把减数用相应的补数表示就可以了。把补数用到计算机对数的处理上，就是补码。

1.2 补码

1）正整数的补码
正整数的补码是其二进制表示，与原码相同。
2）负数的补码
求负数的补码，将其对应正数二进制上表示所有位取反后加1.

Eg:求-5的补码：
-5对应正数5（00000101）->所有位取反(11111010)->加1(11111011)
所以-5的补码是11111011

eg:数0的补码表示是唯一的
[+0]补=[+0]反=[+0]原=00000000
[-0]补=11111111+1=00000000

3）补码转化为原码：
已知一个数的补码，求原码的操作就是对该补码再求补码：
 如果补码的符号位为“0”，表示是一个正数，则其原码就是补码。
 如果补码的符号位为“1”，表示是一个负数，那么求给定这个补码的补码就是要求的原码。
Eg：已知一个补码为11111001，则原码为10000111(-7).
因为符号位为“1”，表示是一个负数，所以该位不变，仍为“1”。
其余七位1111001取反后为0000110；再加1,所以是10000111.

4)补码的绝对值
eg:-65的补码是10111111
在计算机内，如果一个二进制数，其最左边位是1，则我们可以判定它为负数，并且是用补码表示。若要得到一个负二进制补码的数值，只要对补码全部取反并加1，就可以得到其数值。
10111111（-65的补码）->（各位取反）->01000000->（加1）->01000001(+65)

1.3 代数加减运算

1）补码加法
[X+Y]补=[X]补+[Y]补
eg: X=+0110011(51)，Y=-0101001(-41),求[X+Y]补
[X]补=00110011 [Y]补=11010111
[X+Y]补=[X]补+[Y]补 = 00110011 + 11010111 = 00001010
注：因为计算机中运算器的位长是固定的(定长运算),上述运算中产生的最高位将丢掉，所以结果不是100001010而是00001010 = 10

2）补码减法
[X-Y]补 = [X]补-[Y]补=[X]补+[-Y]补
eg: 1-1[十进制]
1的原码：00000001 转换为补码是：00000001
-1的原码：10000001 转换为补码是：11111111
1+(-1) = 00000001 + 11111111 = 00000000(0)

eg: -7-(-10)[十进制]
-7的补码：11111001 -(-10)的补码：-10的原码为10001010，-(-10)的原码为：00001010
-(-10)的补码就是其原码：00001010
-7-(-10) = -7+10 = 11111001+00001010 = 00000011=3

3）补码乘法
补码的乘法不具备[X*Y]补=[X]补*[Y]补的性质。但是[X*Y]补==[X]补*Y,所得结果再取补码。例如x=101,y=011. [x*y]补=

1.4 位操作的种类

所有的位操作，操作的都是补码。
1）左移操作
左移操作”<<”将证书最高位挤掉，而在右端补0。
左移就相当于乘2，而不管整形是否有符号。
Eg: a = 12 求a<<1
a=12=00001100[补]
a<<1 = 00011000[补] = 16+8 = 24[十进制]

2)右移操作
右移操作”>>”是在整数的高位挤进去一个0或1进去，而整数右边的1或0被挤掉。 对于有符号数，若最高位是1，则高位挤进1；最高位是0则挤进去0

Eg: short int a = -2; 求 a>>1
a=-2的原码是10000010->11111110 [补]
a>>1=11111111[补]->10000001[原] = -1[十进制]

Eg: short int a = 12; 求a>>1
A = 12 的原码是00001100->00001100[补]
a>>1=00000110[补]->00000110[原]=6[十进制]

右移就相当于除2，无论整形是否有符号。

3)位与操作
位与操作”&”是将两个操作数每一位做与操作。
&操作是两个数都为1的时候，结果才是1，否则为0
Eg: int a = 12, b=6 求a&b
a=12= 00001100
b=6= 00000110
a&b= 00000100=4

eg: int a = -12,b=6 求a&b
a=-12= 10001100[原] ->11110100[补]
b=6= 00000110
a&b=00000100=4

eg: int a=-12,b=-6 求a&b
a=-12=10001100[原]->11110100[补]
b=-6 = 10000110[原] ->11111010[补]
a&b= 11110000[补]->10010000[原]->-16[十进制]

4）位或操作
位或操作”|”是将两个操作数的每一位做或操作。
|操作是两个数中有一个数为1则结果就是1，否则为0
eg:int a=12,b=6 求a|b
a=12= 00001100
b=6= 00000110
a|b= 00001110 = 14

eg: a=-12,b=-6 求a|b
a=-12= 11110100
b=-6= 11111010
a|b= 11111110[补]->10000010[原]=-2

5) 位异或操作
位异或”^”操作是将两个操作数每一位做异或操作，异或也称对称和，或称无进位加等，若两个操作数相等（都为0或都为1，则其值为0，否则为1）。

Eg: a=12,b=6 求a^b
a=12= 00001100
b=6= 00000110
a^b= 00001010=10

eg: a=-12,b=-6 求a^b
a=-12= 11110100
b=-6= 11111010
a^b= 00001110=14

6) 位反操作
位反”~” 操作是将一个操作数每一位取反,0变成1，1变成0.
Eg: int a=12 求a=~a
a= 12= 00001100
~a= 11110011->10001101=-13