每天一个小题目——约会

本文介绍了一个简单的算法问题,Bob需要从起点走到终点(a,b),每次随机选择上下左右四个方向之一前进一步。通过输入终点坐标(a,b)和总步数s,判断Bob是否可能在指定步数内达到约会地点。

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题目描述
Bob和Alice有个约会,一大早Bob就从点(0,0)出发,前往约会地点(a,b)。Bob没有一点方向感,因此他每次都随机的向上下左右四个方向走一步。简而言之,如果Bob当前在(x,y),那么下一步他有可能到达(x+1,y), (x-1,y), (x,y+1), (x,y-1)。很显然,当他到达目的地的时候,已经很晚了,Alice早已离去。第二天,Alice质问Bob为什么放她鸽子,Bob说他昨天花了s步到达了约会地点。Alice怀疑Bob是不是说谎了。你能否帮她验证一下?

输入只有一行,三个整数啊a,b,s;
(a,b)表示Bob和Alice约定的约会地点,s是Bob走的步数
输出只有一行,如果s满足条件,输出“Yes”,否则输出“No”

#include<iostream>
#include<cmath> 
using namespace std;

int main(){
    int a, b, s;
   cin >> a >> b >> s;
   int sum = fabs(a)+ fabs(b);         // 输入的坐标有可能是负数
   if ( s < sum)                                // 步数小于最短路径一定说谎
        cout  << "No" << endl;
  else{
        if ((s - sum) % 2 == 0)          // 步数减去最短路径的值必须是偶数
              cout << "Yes" << endl;
        else
              cout << "No" << endl;
  }
    return 0;
}
青蛙的约会一个经典的算法题,在很多编程竞赛以及面试题目中都有出现过。下面我会简单地用 C 语言解释这个题目并提供解决方案。 ### 题目描述 两只青蛙在网上相识了,它们约定在线下见面。这两只青蛙分别位于一条数轴上的点 \(x\) 和点 \(y\) ,并且每秒钟都会向前跳跃一次。第一只青蛙每次会跳 \(m\) 步,而第二只青蛙每次会跳 \(n\) 步。此外,这条数轴是个环形结构,长度为 \(L\) 。现在的问题是:这两只青蛙能否在某个时刻相遇?如果可以,那么需要多少时间? --- ### 思路分析 这是一个典型的数学求解问题,涉及同余方程的应用: 我们需要找到满足条件的时间 \(t\),使得两者的位移相等,即: \[ (x + t \cdot m) \% L = (y + t \cdot n) \% L \] 整理得到: \[ (t \cdot (m - n)) \% L = (y - x) \% L \] 令 \(a = m-n\),\(b=y-x\),则上述公式转换成: \[ (a \cdot t) \% L = b \% L \] 这是关于模线性同余方程的标准形式。解决该问题的关键在于判断是否存在整数解,并通过扩展欧几里得算法计算出最小正整数解。 --- ### 算法步骤 1. 判断是否能够有解——当且仅当 \(gcd(a, L)\) 能够整除 \(b\) 的时候才有解; 2. 使用扩展欧几里德算法求出一组特解; 3. 根据通解公式得出最小正整数值; 以下是对应的 C 实现代码示例: ```c #include <stdio.h> #include <stdlib.h> // 扩展欧几里得算法 求 ax+by=gcd(a,b) int ex_gcd(int a, int b, int *x, int *y){ if(b ==0 ){ *x=1;*y=0; return a; } int r=ex_gcd(b,a%b,x,y); int temp=*x; *x=*y; *y=temp-a/b**y; return r; } void frogMeetingTime(long long x,long long y ,long long m ,long long n ,long long L ){ long long a=m-n;//速度差 long long b=y-x;//起始位置差距 //处理负值的情况 取绝对值 并调整方向 if( a<0 ) {a=-a;b=-b;} if( b<0 ) b+=L; //利用拓展欧几里得算法 解决 同余式 at≡b(mod L ) int xx,yy; long long d=ex_gcd((int)a,(int)L,&xx,&yy); if( b%d !=0 ) printf("Impossible\n"); else{ //存在解 计算 最小非负解 long long t=( ((xx*(b/d)) % (L/d))+ (L/d) )%(L/d); printf("%lld\n",t*L/a ); //输出结果 秒数*t } } int main(){ long long X,Y,M,N,L; scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&X,&Y,&M,&N,&L ); frogMeetingTime(X,Y,M,N,L); return 0 ; } ``` --- ### §: 1. 如果将此问题从一维空间推广到二维甚至更高维度的空间该如何解答? 2. 在实际应用过程中有哪些优化技巧能提升程序运行效率? 3. 假设青蛙的跳跃步长不是一个固定常量而是随机变量呢? 这种情况又怎么建模和求解?
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