《算法分析与设计》Week 16

62. Unique Paths

Description:

A robot is located at the top-left corner of a m x n grid (marked 'Start' in the diagram below).

The robot can only move either down or right at any point in time. The robot is trying to reach the bottom-right corner of the grid (marked 'Finish' in the diagram below).

How many possible unique paths are there?

Above is a 3 x 7 grid. How many possible unique paths are there?

Note: m and n will be at most 100.

Solution:

一、题意理解

      给定一个m*n的网格，最左上角起点有一个机器人，最右下角是重点，机器人只能向右或向下走，求机器人从起点到终点有多少条路径。

二、分析

     1、典型的动态规划问题，而且我们很容易就能找到状态转移方程如下：

            a  b  c

            d  e  f

            g  h  i

           这是一个3*3的网格，F(x)为从a到x的路径数目，显然F(a)=1，F(b)=1，F(d)=1，而如果要走到e，就必须先走到b或者是d，即F(e) = F(b) + F(d)，所以对于一个m*n的网格图，要走到第i行，第j列，就必须先走到第i-1行，第j列，或者第i行，第j-1列，即F(i, j) = F(i-1, j) + F(i, j-1)。

      2、状态转移方程找到了，代码就可以写出来了，时间复杂度为O(m*n)，空间复杂度为O(m*n)：

class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        int i,j;
        int **res = new int*[m];
        for(i=0; i<m; ++i)
        {
            res[i] = new int[n];
            res[i][0] = 1;
        }
        for(j = 0; j<n; ++j)
            res[0][j] = 1;
            
        for(i=1; i< m; ++i)
        {
            for(j = 1; j<n; j++)
             res[i][j] = res[i-1][j] + res[i][j-1];
        }
        return res[m-1][n-1];
    }
};

         3、其实，高中的时候排列组合就有这样的题，很简单，对于3*7的网格，答案是C(7, 2).