《算法分析与设计》Week 8

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本文介绍了一种使用动态规划解决独特二叉搜索树计数问题的方法。通过定义状态转移方程，递推地计算出给定节点数n时所有可能的独特二叉搜索树的数量。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

96. Unique Binary Search Trees

Description:

Given n, how many structurally unique BST's (binary search trees) that store values 1...n?

For example,
Given n = 3, there are a total of 5 unique BST's.

   1         3     3      2      1
    \       /     /      / \      \
     3     2     1      1   3      2
    /     /       \                 \
   2     1         2                 3

Solution:

一、题意理解

给定一个数n，有多少个异构的二叉搜索树用来存储1...n？所谓异构，类似化学中的同素异构体，就是组成元素相同，但是在空间结构上的组成方式不同。

二、分析

1、可以用动态规划来解，找到状态转移方程。要寻找节点数为n的二叉搜索树的异构体数量，可以依次寻找限制以i（i=1,2,...,n）为根节点的二叉搜索树的异构体，然后将其累加即可。不妨设：

G(n)：存储序列1...n的二叉搜索树的异构体数目，也是我们要求解的目标。

F(i, n)：存储序列1...n时，限制以i为根节点的二叉搜索树的异构体数目。

2、而动态规划，无非就是用已经求解的值来得到另一个条件下的值。有了以上的假设，很容易得到如下的式子：

G(n) = F(1, n） + F(2, n) + F(3, n) + ... + F(n, n)

F(i, n) = G(i - 1) * G(n - i)

第一个式子很好理解，就是一个累加。对于第二个式子来说，比如n = 6，当限制以3为根节点时，{1,2}组成根节点3的左子树，{4,5,6}组成根节点3的右子树，而左子树{1,2}的异构体数目自然等于G(3-1) = G(2)，右子树{4,5,6}的异构体数目和{1,2,3}的异构体数目相同，为G(6-3) = G(3)。所以F(3, 6) = G(2) * G(3)。

3、结合上述两个式子，就可以得到最终的状态转移方程：

G(n) = G(0) * G(n-1) + G(1) * G(n-2) + G(2) * G(n-3) + ... + G(n-1) * G(0)

4、代码如下：

class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        int *G = new int[n+2];
        G[0] = G[1] = 1;
        for(int i=2; i<=n; ++i)
        {
            G[i] = 0;
            for(int j=1; j<=i; ++j)
            {
                G[i] += G[j-1] * G[i-j];
            }
        }
        int tmp = G[n];
        delete G;
        return tmp;
    }
};