CF-Kate and imperfection

最新推荐文章于 2020-10-05 15:37:30 发布

原创最新推荐文章于 2020-10-05 15:37:30 发布 · 604 阅读

1 ·

CC 4.0 BY-SA版权

本文详细解析了CodeforcesRound#632(Div.2)中F题“Kate and imperfection”的解题思路。通过观察规律，采用逆向思维，找出从1到n的集合中，任意两个数的最大公约数的最小值，适用于不同长度的子集。

题目来源：Codeforces Round #632 (Div. 2)
题目链接：F. Kate and imperfection

大致题意

给出一个数n，S为从1到n的集合，寻找长度为2，3，4…一直到长度为n的子集中任意两个数的最大公约数的最小值。举个例子有一个集合{2，4，6，9}，它的值就应该为6和9的最大公约数3，而它的长度为2的子集的最大公约数的最小值可以选子集{4，9}，这样就是1。

思路

强行找的话肯定会超时，因此我们先研究一下这个规律。假设n等于10的时候，长度为2的子集肯定选最大公约数为1的两个数，任选10一下的两个素数组成的子集，答案为1；长度为3的子集依然选3个素数，答案还是1…一直到长度为6的时候，先选1，2，3，5，7，发现没有素数了于是从最大公约数最小的开始选也就是从4开始选，答案为2.

n=10时

n	所选子集	答案
2	1，2	1
3	1，2，3	1
4	1，2，3，5	1
5	1，2，3，5，7	1
6	1，2，3，5，7，4	2
7	1，2 ，3，5，7，4，6	3
8	1，2，3，5，7，4，6，9	3
9	1，2，3，5，7，4，6，9，8	4
10	1，2，3，5，7，4，6，9，8，10	5

所以n等于10 的时候答案为1 1 1 1 2 3 3 4 5
这样模拟一遍可能看不出什么，但是你从后往前看，也就是用~~逆向思维~~ 。

首先选最大的子集即长度为10的子集也就是它本身，任意两个数的最大公约数是5
其次选长度为9的子集，这时候就不要从10个数里面去挑9个了，直接从长度为10的子集去掉一个元素，显而易见把10去掉，10和5的最大公约数5就没了。
然后长度为8的时候再去掉一个数，即把8去掉，4就没了。
长度为7的时候去掉6，3没了。
长度为6的时候去掉9，还是3没了。

这时候就不难看出答案就是除了1以外的每个数的最大因子，即从2-n的所有数的最大因子的排序。

实现代码

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<stdio.h>
#include<cmath>
using namespace std;
#define N 500005
typedef long long ll;

int a[N];

int check(int n){
 int i;
 if(n==2)
 return 1;
 for(i=2;i<=sqrt(n);i++){
  if(n%i==0)
  return n/i;
 }
 return 1;
}

int main(){
 int i,n,l=0;
 cin>>n;
 for(i=2;i<=n;i++)  
  a[l++]=check(i);
   
 sort(a,a+l);
 
 for(i=0;i<l;i++){
  cout<<a[i];
  if(i!=l-1)
  cout<<" ";
 }
 return 0;
}