[BZOJ 1101][POI2007]Zap：莫比乌斯反演-优快云博客

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设 $f(n)=\sum_{x=1}^{a}\sum_{y=1}^{b}\left [ d|gcd(x,y) \right ]$ ，即f(n)表示 $d|gcd(x,y)$ 的对数；
设 $g(n)=\sum_{x=1}^{a}\sum_{y=1}^{b}\left [ gcd(x,y)=d \right ]$ ，即g(n)表示 $gcd(x,y)=d$ 的对数

于是可得 $f(n)=\sum_{n|d}^{ }g(d)=\left \lfloor a/n \right \rfloor\left \lfloor b/n \right \rfloor$
经过莫比乌斯反演可得 $g(n)=\sum_{n|d}^{ }\mu \left (\frac{d}{n} \right )f(d)=\sum_{n|d}^{ }\mu \left (\frac{d}{n} \right )*\left \lfloor \frac{a}{d}\right \rfloor\left \lfloor \frac{b}{d} \right \rfloor$
将a,b分别除d，得到a’，b’，问题转化为求g(1)的值（下文的d不等于题中的d）
$g(1)=\sum_{d=1}^{min(a',b')}\mu(d)* \left \lfloor \frac{a'}{d} \right \rfloor\left \lfloor \frac{b'}{d} \right \rfloor$
因为d在一定范围内， $\left \lfloor \frac{a'}{d} \right \rfloor\left \lfloor \frac{b'}{d} \right \rfloor$ 的值是不变的，所以对 $\mu(d)$ 求个前缀和，然后分块去做

/*
User:Small
Language:C++
Problem No.:1101
*/
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define inf 999999999
using namespace std;
const int M=50005;
int n,m,d,res,prime[M],cnt,mu[M],sum[M];
bool not_prime[M];
void solve(){
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&d);
    n/=d,m/=d;
    if(n>m) swap(n,m);
    res=0;
    for(int i=1,r;i<=n;i=r+1){
        r=min(n/(n/i),m/(m/i));
        res+=(sum[r]-sum[i-1])*(n/i)*(m/i);
    }
    printf("%d\n",res);
}
int main(){
    freopen("data.in","r",stdin);//
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=5e4;i++){
        if(!not_prime[i]){
            prime[++cnt]=i;
            mu[i]=-1;
        }
        for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=5e4;j++){
            not_prime[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0){
                mu[i*prime[j]]=0;
                break;
            }
            mu[i*prime[j]]=-mu[i];
        }
    }
    for(int i=1;i<=5e4;i++) sum[i]=sum[i-1]+mu[i];
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--) solve();
    return 0;
}