C++学习第六篇——最短路

最新推荐文章于 2025-06-26 10:38:09 发布

SmallHedgehog

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分类专栏： C++学习文章标签：图论算法 c++

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本文深入探讨了图论中的核心算法——最短路径算法，包括Dijkstra算法、Floyd算法及Bellman-Ford算法。重点讲解了Dijkstra算法的实现细节与应用场景，以及Floyd算法解决所有对之间最短路径问题的优势与不足。适合初学者和进阶学习者。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

最短路是图论最重要的算法之一，也是算法难点。经过这篇的学习，你会发现你离成功就差一个最短路的距离。=.=
最短路是指，某个点到某个点之间的距离最短。

算法1：Dijkstra算法

迪杰斯特拉算法是很典型的单源最短路算法，而且时间复杂度较其他算法更低，唯一的缺点是无法判断含负权边的图的最短路。而且其仅能作为单源最短路，也就是一个起点、一个终点求最短。在开始前推荐大家先去看我的另一篇博客最小生成树其中的prim算法和这个很类似。
同样由于技术有限，仅靠文字和代码讲解。-_-

int pic[1005][1005];//存图

在输入之前，初始化图，将各点之间的距离设置为最大值，表示无法到达。
这里的图是单向的。

void init()
{
	for(int i=0;i<1005;i++)
	{
		for(int j=0;j<1005;j++)
		{
			pic[i][j]=(1<<21);//最大值可以自己设定，只要能表示不可达即可
		}
	}
}

dijkstra模板函数如下
特别强调c++和java不同，新开的数组会沿用之前相同名字的内存地址，所以赋值false很关键。之前我的模板错误在此
另外注意起点下标0-n-1或者1-n需要更改

void dijkstra()
{
	int weight[1005];//起始到其他端点的值 
	bool visit[1005];
	for(int i=0;i<n;i++)
	{
		weight[i]=pic[0][i];//将图中0到各个端点的值赋给weight数组 
		visit[i]=false;
	}
	weight[0]=0;
	visit[0]=true;
	//此时起点为0
	while(true)//0点作为起始点，从下一个点开始 
	{
		int j=0,k=-1,min=(1<<21);
//weight内的值为0时表示，已经访问过 
//遍历weight数组，寻找一个最小值，并且该点没有被访问过 
		while(j<n)
		{
			if(min>weight[j]&&!visit[j])
			{
				min=weight[j];
				k=j;//用k存下这个节点 
			}
			j++;
		} 
//已知的min是我当前起始节点到k节点的距离，已知连接边中最短的 
		if(k==-1) break;
		visit[k]=true;//访问过该节点 
//自此形成从起始到K的边,将其连接
 		for(int m=0;m<n;m++)
		{
		 	if(weight[m]>pic[k][m]+weight[k]&&!visit[m])
		 	{
		 		weight[m]=pic[k][m]+weight[k]; //将单点间距离与新更新值距离比较求最小
			}
		} 
	} 
}

和prim唯一一点不同的是，其他点存的距离为一段距离，未连接之前是最大值，连接过后就是某一段加某一段,weight数组里面存的是起始点到各点之间的距离。

技巧：当你需要多源最短路而苦于Floyd的算法复杂度时，你不妨换种思路，把终点当做起点，而你需要求的其他顶点到终点的距离自然就有了。

算法2：Floyd算法

唯一的缺点就是时间复杂度过高（On^3），在算法实现时需要注意arr[i][k]+arr[k][j]的溢出问题所以可能需要long long数组。

void floyd()//算法模板 
{
	for(int k=0;k<=n;k++)
		for(int i=0;i<=n;i++)
			for(int j=0;j<=n;j++)
				if(arr[i][j]>arr[i][k]+arr[k][j])
					arr[i][j]=arr[i][k]+arr[k][j];
}