HDU 6143 排列组合 - DP

最新推荐文章于 2022-04-02 17:25:47 发布

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本文介绍了一道关于姓名组合计数的问题，通过优化算法将初始的立方级别复杂度降至更低。利用DP方法预处理特定组合的数量，并通过公式优化减少计算量。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

排列组合 - DP

题意：

给出m字母，现在要求用m个字母去取名字，firstname 和 lastname 不能同时存在相同字母，问：会有多少种组合数，对于firstname 和 lastname 必须保证长度为n。

数据量 $0 < n,m < 2000$

题意：

最开始最开始用的DP去推出所有的解，复杂度达到了 $n^3$ ，平常对复杂度的不重视导致比赛时候频频犯错，用到了超时算法，以至于到后来一直去想优化，无论怎么优化没有思考对原始计算的公式进行：公式优化。失败的题目，没写出也是一种对不重视复杂度的惩罚，认，下次努力。

若想求出所有的可能免不了要分情况，对于第一name，里面的字母数量有限制，可以从1枚举，但是每次枚举需要求出i种字母恰好填满n个位置的排列数，这个可以通过预处理，定义： $dp[i]$ 表示i种字母恰好填满n个位置的总数，那么当求出i的时候可以先算出总的可能数，减去不满足条件的总数即可，总数即为 $i^n$ : 对于每一个位置都有i种情况，不满足恰好填满n个位置的情况就是 $C(i,j)*dp[j] : (j < i)$ 即少于i种的总情况。


#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>

using namespace std;

const int maxn = 2005;
const int mod = 1000000007;
typedef long long LL;

LL dp[maxn];
LL n,m;

const int maxk = 2000 + 5;
LL C[maxk][maxk];

void table_C(){
    memset(C, 0,sizeof(C));
    C[0][0] = 1;
    for(int i = 0; i <= maxk-5; i++){
        C[i][0] = C[i][i] = 1;
        for(int j = 1; j < i; j++)
            C[i][j] = (C[i-1][j] + C[i-1][j-1]) % mod;
    }
}

//快速幂
LL pow(LL a, LL x, LL p = mod) {
    LL res = 1;
    while(x) {
        if (x & 1) res = res * a % p;
        x >>= 1;
        a = a * a % p;
    }
    return res;
}

void DP(int n)
{
    dp[1] = 1;
    for(int i = 2;i <= n; i++) {
        LL temp = 0;
        for(int j = 1;j < i; j++) {
            temp = (temp + C[i][j]*dp[j]%mod)%mod;
        }
        LL temp1 = pow(i,n);
        dp[i] = (temp1-temp+mod)%mod;
    }
}

int main(int argc, char const *argv[])
{
    // freopen("in.txt","r",stdin);

    table_C();
    int tt;
    scanf("%d",&tt);

    while(tt--) {
        scanf("%I64d%I64d",&n,&m);
        int Max;
        if(n >= m) Max = m-1;
        else Max = n;
        DP(n);
        LL ans = 0;
        for(int i = 1;i <= Max; i++) {
            LL temp1 = C[m][i]*dp[i]%mod;
            LL temp2 = pow(m-i,n);
            ans = (ans + temp1*temp2%mod)%mod;
        }
        printf("%I64d\n",ans%mod);
    }

    return 0;
}