HDU 4489 (DP递推计数)

最新推荐文章于 2021-05-25 11:51:06 发布

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博客探讨了一道关于排列问题的DP算法题目，要求排列n个高低不同的人形成高低高或低高低模式。通过DP递推计数的方法，分析了当已排列好前i-1个人后，第i个人如何插入以满足条件，同时注意到特殊情况的处理，如两侧只有一人时需要除以2来避免重复计数。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

DP 递推计数

题意：

这是一道比较神奇的题，很考验思维：有n个高低不同的人，现在需要进行排列，排列一定要满足两种方式

高低高···
低高低···

求出有多少排列方式。

思路：

我们的切入点是第i个人，如果前i-1个人都已经排列好了，那么第i个人只需插入就行，因为任何人排列先后顺序不影响总的结果，我们就认为插入的人高度递增的，那么第i个人的高度是最高的，把他放在两端的情况有
$d p [i - 1]$ $dp[i-1]$ 种，重点是中间的插入情况，第i人放在中间的情况仔细分析之后有一个条件是必须要满足的那就是第i人左边的1~i-1人的排列一定是 ···高低第i人，右边的排列一定是第i人低高··· ，因为第i人是最高的那么左右的两个人都是低谷,。加入一共有i-1人，第i人现在要插入其左边有j个人，满足上边条件的情况有 $d p [j - 1] > > 1$ $dp[j-1]>>1$ ,，右边有i-1-j个人,满足上述条件的人有 $d p [i - 1 - j] > > 1$ $dp[i-1-j]>>1$ （因为开始或者结尾时低的人的情况各占总数的一半）。那么 $d p [i] + = (d p [j] > > 1) * (d p [i - 1 - j] > > 1) * C (j, i - 1)$ $dp[i] += (dp[j]>>1) *(dp[i-1-j]>>1) * C(j,i-1)$ ，其中 $C (j, i - 1)$ $C(j,i-1)$ 意思是从i-1人中选拔出j人在第i人左边的种类数。

注意点：当第i人左边或者右边只有一个人的情况，只需除以依次2即可。


#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <math.h>

using namespace std;

typedef long long LL;
const int maxn = 30;

int n;
LL dp[maxn];

LL C(int m,int n)
{
    LL ans = 1;
    int t = m;
    while(t) {
        ans *= n;
        n--;
        t--;
        if(ans%m == 0 && m != 0) {
            ans /= m;
            m--;
        }
    }
    while(m) {
        ans /= m;
        m--;
    }
    return ans;
}

void init()
{
    dp[1] = 1;
    dp[2] = 2;
    dp[3] = 4;
    for(int i = 4;i <= 20; i++) {
        dp[i] += dp[i-1];
       // printf("%d\n",i);
        for(int j = 1;j < i - 1; j++) {
            if(j == 1 || i - j - 1 == 1)
                dp[i] += (dp[j]*dp[i-j-1]>>1)*C(j,i-1);
            else
                dp[i] += (dp[j]>>1)*(dp[i-j-1]>>1)*C(j,i-1);
        }
    }
}

int main()
{
    //freopen("in.txt","r",stdin);
    init();
    int tt;
    scanf("%d",&tt);
    for(int i = 1;i <= tt; i++) {
        int ncase;
        scanf("%d%d",&ncase,&n);
        printf("%d %I64d\n",ncase,dp[n]);
    }

    return 0;
}