递推、计数类Dp专题

最新推荐文章于 2025-05-28 11:55:23 发布

剑锋OI

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分类专栏：算法总结动态规划问题

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/hjf1201/article/details/78630185

这篇博客深入探讨了动态规划(DP)在解决递推和计数类问题中的应用，包括跳台阶问题的两种变体、数塔问题以及更多相关问题。通过对Fibonacci数列的分析，揭示了递推公式的推导过程，展示了如何利用DP求解此类问题。此外，博客还提供了若干编程挑战的示例，涵盖了从简单的递推关系到更复杂的策略，如蜜蜂爬行、核电站核物质放置和方格取数等。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

1.跳台阶问题1 jump1.pas/c/cpp

【在线测试提交传送门】

【问题描述】
有一楼梯共M级，刚开始时你在第0级，若每次只能跨上一级或二级，要走上第M级，共有多少种走法？
【输入数据】
一行包含一个整数M（1<=M<=40）,表示楼梯的级数。
【输出数据】
一行一个整数，表示不同走法的数量
【输入样例】
3
【输出样例】
2
【题目来源】
Hdu2041改编

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int m;
long long f[41] = {
  
  0}; 

//递归 
unsigned long long solution1(int m)
{
    //定义递归出口
    if(m <= 0)
        return 0;
    else if(m == 1)
        return 1;
    else if(m == 2)
        return 2;

    return solution1(m - 1) + solution1(m - 2);
}

//记忆化
//自顶向下的动态规划
unsigned long long solution2(int m)
{
    if(f[m]!=0) 
        return f[m];

    if(m <= 0) return 0;
    if(m==1)   return f[1] = 1;
    if(m == 2) return f[2] = 2;

    f[m] = solution2(m - 1) + solution2(m - 2);
    return f[m];
} 

//非递归动态规划
//自底向上的动态规划
unsigned long long solution3(int number)
{
    f[1] = 1;
    f[2] = 2;

    for(int i = 3; i <= number; i++)
        f[i] = f[i - 1] + f[i - 2];
    return f[number];
} 

int main() {
    cin>>m;
    cout<<solution3(m);
    return 0;
}

2.跳台阶问题2 jump2.pas/c/cpp

【在线测试提交传送门】

【问题描述】
有一楼梯共M级，刚开始时你在第0级，若每次只能跨上一级、二级……或M级，要走上第M级，共有多少种走法？
【输入数据】
一行包含一个整数M（1<=M<=40）,表示楼梯的级数。
【输出数据】
一行一个整数，表示不同走法的数量
【输入样例】
3
【输出样例】
4
【题目来源】
Hdu2041改编

分析：用Fib(n)表示跳上n阶台阶的跳法数。如果按照定义，Fib(0)肯定需要为0，否则没有意义。但是我们设定Fib(0) = 1；n = 0是特殊情况，通过下面的分析就会知道，强制令Fib(0) = 1很有好处。ps. Fib(0)等于几都不影响我们解题，但是会影响我们下面的分析理解。

当n = 1 时，只有一种跳法，即1阶跳：Fib(1) = 1;
当n = 2 时，有两种跳的方式，一阶跳和二阶跳：Fib(2) = 2;
到这里为止，和普通跳台阶是一样的。
当n = 3 时，有三种跳的方式，第一次跳出一阶后，对应Fib(3-1)种跳法；第一次跳出二阶后，对应Fib(3-2)种跳法；第一次跳出三阶后，只有这一种跳法。Fib(3) = Fib(2) + Fib(1)+ 1 = Fib(2) + Fib(1) + Fib(0) = 4;
当n = 4时，有四种方式：第一次跳出一阶，对应Fib(4-1)种跳法；第一次跳出二阶，对应Fib(4-2)种跳法；第一次跳出三阶，对应Fib(4-3)种跳法；第一次跳出四阶，只有这一种跳法。所以，Fib(4) = Fib(4-1) + Fib(4-2) + Fib(4-3) + 1 = Fib(4-1) + Fib(4-2) + Fib(4-3) + Fib(4-4) 种跳法。
当n = n 时，共有n种跳的方式，第一次跳出一阶后，后面还有Fib(n-1)中跳法；第一次跳出二阶后，后面还有Fib(n-2)中跳法……………………..第一次跳出n阶后，后面还有 Fib(n-n)中跳法。Fib(n) = Fib(n-1)+Fib(n-2)+Fib(n-3)+……….+Fib(n-n) = Fib(0)+Fib(1)+Fib(2)+…….+Fib(n-1)。
通过上述分析，我们就得到了通项公式：

Fib(n) = Fib(0)+Fib(1)+Fib(2)+…….+ Fib(n-2) + Fib(n-1)

因此，有 Fib(n-1)=Fib(0)+Fib(1)+Fib(2)+…….+Fib(n-2)

两式相减得：Fib(n)-Fib(n-1) = Fib(n-1) 推出

Fib(n) = 2*Fib(n-1) n >= 3

这就是我们需要的递推公式：Fib(n) = 2*Fib(n-1) n >= 3

//自底向上的动态规划
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long f[40+1] = {
  
  0};
int m;

long long solution(int m)
{
    f[0] = 1;
    f[1] = 1;
    f[2] = 2;
    int t = 2;
    if(m <= t)
        return f[m];

    for(int i = t + 1; i <= m; i++)
        f[i] = 2 * f[i - 1];
    return f[m];
}

int main(){
    int m;
    cin>>m;
    cout<<solution(m);
    return 0;
}

母牛 cow.pas/c/cpp

【在线测试提交传送门】

【问题描述】
有一头母牛，它每年年初生一头小母牛。每头小母牛从第四个年头开始，每年年初也生一头小母牛。请编程实现在第n年的时候，共有多少头母牛？
【输入数据】
输入数据由多个测试实例组成，每个测试实例占一行，包括一个整数(0<<55)，n的含义如题目中描述。
n=0表示输入数据的结束，不做处理。
【输出数据】
对于每个测试实例，输出在第n年的时候母牛的数量。
每个输出占一行。
【输入样例】
2
4
5
0
【输出样例】
2
4
6
【题目来源】
Hdu2018

//递归写法
#include<stdio.h>
int cow(int n)
{
    if(n<=4)
    return n;
    else
    return cow(n-1)+cow(n-3);
}
int main()
{
    int n,m;
    while(scanf("%d",&n)&&n)
    {
       m=cow(n);
       printf("%d\n",m);
    }
    return 0;
}

//记忆化写法

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
int a[60],n;
int cow(int n)
{
    if(a[n]>0)
        return a[n];
    else
    {
        a[n]=cow(n-1)+cow(n-3);
        return a[n];
    }
}
int main()
{
   memset(a,