洛谷 P2312 [NOIP2014 提高组] 解方程

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秦九韶算法

我们平时进行一元n次多项式的求值，大概需要进行 $\frac{n(n+1)}{2}$ 次乘法和n次加法.

但是，如果使用秦九韶算法，就只需进行 $n$ 次乘法和 $n$ 次加法.

假设有 $1$ 个一元 $n$ 次多项式:

$a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+a_{n-2}{x}^{n-2}+...+a_{1}x+a_0$

那么可以把它简化为 $(...((a_{n}x+a_{n-1})x+a_{n-2})x+...+a_1)x+a_0$

哈希思想取模

正常来讲，这道题目要用高精度来做，但可以通过 $\mathrm{mod}$ 一个数来解决这个问题.

但是这种方法有个缺点，就是有时会发生错误.所以在找可以 mod 的数时，

满足一下几个条件就能 减少 错误的概率.

以下部分设这个 $\mathrm{mod}$ 的数为 $P$.

1.$P$ 是质数.

2.让 $P$ 尽可能的大

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
int n, m, cnt, sum = 0;
// a记录系数，ar记录答案 
int a[102], ar[1000006];
// 这里我把mod设为1e9+7 
const int mod = 1000000007;
// 最好用一下快读，再降低一点时间复杂度 
int read() {
	int sum = 0, fg = 1; // 一个是数值部分，一个是符号位 
	char c = getchar(); // 读入 
	while (c < '0' || c > '9') { // 不是数字部分 
		if (c == '-') fg = -1; // 是负号的情况 
		c = getchar();
	}
	while (c >= '0' && c <= '9') { // 数字部分
		// 数值可能比较大，所以要取模 
		sum = ((sum * 10) + (c - '0')) % mod;  
		c = getchar();
	}
	return sum * fg; // 数字x符号位 
}
bool calc(int x) { // 计算多项式的值 
	sum = 0;
	for (int i = n; i >= 1; i--) // 前n~1向，因为a_0只用加，不用乘 
		sum = ((a[i] + sum) * x) % mod; // 公式，因为数值很大，所以要取模 
	sum = (sum + a[0]) % mod;
	return !sum; // 如果sum=0,呢么传回的就是1，否则就是0 
}
signed main() {
//	freopen("equation.in", "r", stdin);
//	freopen("equation.out", "w", stdout);
	n = read(), m = read();
	for (int i = 0; i <= n; i++) 
		a[i] = read();
	for (int i = 1; i <= m; i++) {
		if (calc(i))
			ar[++cnt] = i; // cnt加上去，记录答案 
	}
	printf("%lld\n", cnt); // 先输出个数 
	for (int i = 1; i <= cnt; i++) { // 如果cnt=0，那么这个循环不会执行 
		printf("%lld\n", ar[i]);
	}
	return 0;
}