LeetCode 441. Arranging Coins（排列硬币）_you have a total of n coins that you want to form -优快云博客

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本文探讨了如何使用二分查找算法解决硬币阶梯问题，即给定一定数量的硬币，找出能形成完整阶梯行的最大行数。通过数学等差数列的知识，文章详细解释了算法的实现过程。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目描述：

You have a total of n coins that you want to form in a staircase shape, where every k-th row must have exactly k coins.

Given n, find the total number of full staircase rows that can be formed.

n is a non-negative integer and fits within the range of a 32-bit signed integer.

Example 1:

n = 5

The coins can form the following rows:
¤
¤ ¤
¤ ¤

Because the 3rd row is incomplete, we return 2.

Example 2:

n = 8

The coins can form the following rows:
¤
¤ ¤
¤ ¤ ¤
¤ ¤

Because the 4th row is incomplete, we return 3.

你总共有 n 枚硬币，你需要将它们摆成一个阶梯形状，第 k 行就必须正好有 k 枚硬币。

给定一个数字 n，找出可形成完整阶梯行的总行数。

n 是一个非负整数，并且在32位有符号整型的范围内。

示例 1:

n = 5

硬币可排列成以下几行:
¤
¤ ¤
¤ ¤

因为第三行不完整，所以返回2.

示例 2:

n = 8

硬币可排列成以下几行:
¤
¤ ¤
¤ ¤ ¤
¤ ¤

因为第四行不完整，所以返回3.

思路：

根据数学等差数列的相关知识，阶梯的前n行，一共有 $S_{n}=n*a_{1}+\frac{n(n-1)}{2}*d$ 枚硬币，其中 $a_{1}= 1$ ， $d= 1$ ；

或者是有 $S_{n}=\frac{n*(a_{1}+a_{n})}{2}$ 枚硬币，其中 $a_{1}= 1$ ， $a_{n}= n$ ；

现在有n枚硬币组成阶梯，如果前k行的硬币总数小于等于n，即 $S_{k}\leq n$ ；且前k+1行的硬币总数大于n，即 $S_{k+1}> n$ ，则k就是我们要找的答案。

n枚硬币组成的阶梯绝对不会超过n行，我们可以二分查找k值。

实现（C++）:

class Solution {

public:
    int arrangeCoins(int n) {
           if(n<1){
            return n;
        }

        int begin = 0;
        int end =n;

        while(begin<=end){
            long long mid = begin+(end-begin)/2;
            long sum = mid*(mid+1)/2;

            if(sum>n)
                end = mid-1;
            else
                begin = mid+1;
        }
        return begin-1;
    }
};