初赛问题求解选集

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NOIP2005

第一题

答案：5。
解析：选择排序的原理。对于按顺序扫描的i，每次在i的后面选择一个最小的和i交换。
这5次分别交换( 32,25 ),( 74,28 ),( 43,53 ),( 58,47 ),( 47,86 )

第二题

答案:11011.
解析：当此时有x根火柴，当且仅当x%3==0时，x是必败的。
反之，如果x%3=a( a!=0 )那么先手先取a，剩下的数是3的倍数。每一轮无论后手怎么取（假设取b），先手都取( 3-b )让每一轮都恰好取走3个，可以保证让先手取走最后一批。

NOIP2012

第一题

　　本题中，我们约定布尔表达式只能包含p，q，r三个布尔变量，以及“与”（∧）、“或”（∨）、“非”（￢）三种布尔运算。如果无论p，q，r如何取值，两个布尔表达式的值总是相同，则称它们等价。例如(p∨q)∨r和p∨(q∨r)等价，p∨￢p和q∨￢q也等价；而p∨q和p∧q不等价。那么两两不等价的布尔表达式最多有_个。
答案：256。

题解

　　这道题该怎么去思考？
　　由于无论怎么取，两个式子的值恒等。p,q,r可以取0,1中的任意一个数，总共有2³=8种情况，每种情况对应一个不同的值，0或1。
　　因此每种情况都对应一个字符串，保证字符串的值不等，两两都不等价，至少有2^8种取法，因此答案就是256

第二题

　　2． 对于一棵二叉树，独立集是指两两互不相邻的节点构成的集合。例如，图1有5个不同的独立集（1个双点集合，3个单点集合、1个空集），图2有14个不同的独立集。那么图3有 ___个不同的独立集。
　　
　　这道题考虑的是树形DP，对于每一个节点，可以得到如下递推式：
　　(ａ[i]表示的是第选的方案，b[i]表示的是不选的方案)
　　a[i]=(a[left]+b[left])*(a[right]+b[right]);//左右节点选或不选的方案数的总和。
　　b[i]=a[left]*a[right]；//不选左右节点的方案数的总和。
　　最后只要求出a[1]+b[1]即可

NOIP2014

第一题

　　直接枚举都可以写出来，但可以分类讨论去写。
　　

　
　　I.组成的四位数中有4种不同的数，取法只有一种，1,2,4,8，总共1×A(4,4)=24个。
　　II.组成的四位数有3种不同的数，两个1的取法有3种，两个8的取法也有3种，总共6×A(4,4)/A(2,2)=72个。
　　III.组成的四位数有2种不同的数，取法只有一种，1,1,8,8，总共A(4,4)/(A(2,2)×A(2,2))=6个。
总共24+72+6=102个。

第二题

想用什么算法就用什么算法，反正能过就行

NOIP2013

第一题

水题，模拟

第二题

这道题我其实已经算出来了，只不过最后大意了，忘了除以4，导致了错误。这也是一个递推的问题，因此可以算过去。

设从2跳到1的期望是f2，那么有1/2的概率是一次跳到1，还有1/2的概率是(1+f2)次跳到1，
即第一次没有跳到1，跳到2的情况，
于是可以列出等式：f2=1*1/2+(1+f2)*1/2,得f2=2；对于n=3，则有1/3的概率一次跳到1，有1/3的概率(1+f2)次跳到1，即第一次跳到2，再从2跳到1的过程，
最后还有1/3的概率(1+f3)次跳到1，于是f3=1/3+(1+f2)*1/3+(1+f3)*1/3,
得f3=2.5;
同理f4=1/4+(1+f2)*1/4+(1+f3)*1/4+(1+f4)*1/4,
得f4=17/6;
f5=1/5+(1+f2)*1/5+(1+f3)*1/5+(1+f4)*1/5+(1+f5)*1/5,
得f5=37/12. 

NOIP2011

第一题

　　画一下就出来了.

第二题

　　这道题我是直接意识流玄学过的，但真正的方法是LIS的做法

　　这个不是交换位置喔，是取出再插入。
　　先在原序列中找个最长上升子序列（除去某些元素，但不影响相对位置的序列称为子序列），发现是ACEGI，长度为5，最长了，
　　剩下4个移动一下就能成有序的ABCDEFGHI了

NOIP2010

第一题

　　这个跟送的一样，然而我多抄了一个空格，5分没了。以后一定要注意在记录答案的时候也要认真一些，不要随便搞搞就过去了。

第二题

　　这个条件我没看懂，其实分析一下就是个二分图。补充一个定理：

定理：无向图G为二分图的充分必要条件是：G至少有两个顶点，且其所有回路的长度均为偶数。

第三题

　　这道题挺难的，用前缀和以及构造图来写，具体实现，商业机密

NOIP2009

第一题

先确定12346的位置，然后将7插入内部有两个位置可选，然后将5插入时候，有6个位置选择。最后，放89的时候，考虑两种情况，89在一起，有8个位置选；89不在一起，8个位置选2个。

第二题

先化成七进制数，因为可以无限找零，所以把大于4的位数用7-a代替，即可得解。

NOIP2006&NOIP2007

见考后总结NOIP2006，NOIP2007。
未完待续。。。