NOIP 提高组 初赛 三、问题求解 习题集（四）NOIP2010-NOIP2015

NOIP 提高组 初赛 三、问题求解 习题集（四）NOIP2010-NOIP2015

 

1.第十六届(NOIP2010)

问题：

 

1．LZW编码是一种自适应词典编码。在编码的过程中，开始时只有一部基础构造元素的编码词典，如果在编码的过程中遇到一个新的词条，则该词条及一个新的编码会被追加到词典中，并用于后继信息的编码。

     举例说明，考虑一个待编码的信息串：“xyx yy yy xyx”。初始词典只有3个条目，第一个为x,编码为1；第二个为y，编码为2；第三个为空格，编码为3；于是串“xyx”的编码为1-2-1（其中-为编码分隔符），加上后面的一个空格就是1-2-1-3。但由于有了一个空格，我们就知道前面的“xyx”是一个单词，而由于该单词没有在词典中，我们就可以自适应的把这个词条添加到词典里，编码为4，然后按照新的词典对后继信息进行编码，以此类推。于是，最后得到编码：1-2-1-3-2-2-3-5-3-4。

     我们可以看到，信息被压缩了。压缩好的信息传递到接受方，接收方也只要根据基础词典就可以完成对该序列的完全恢复。解码过程是编码过程的逆操作。现在已知初始词典的3个条目如上述，接收端收到的编码信息为2-2-1-2-3-1-1-3-4-3-1-2-1-3-5-3-6，则解码后的信息串是”____________”。

 

2.无向图G有7个顶点，若不存在由奇数条边构成的简单回路，则它至多有__________条边。

 

3.记T为一队列，初始时为空，现有n个总和不超过32的正整数依次入列。如果无论这些数具体为何值，都能找到一种出队的方式，使得存在某个时刻队列T中的数之和恰好为9，那么n的最小值是___________。

 

问题解答：

 

1.思考过程如图所示：

答案：yyxy xx yyxy xyx xx xyx

此题思想与《算法竞赛入门经典（第2版）》P115例题5-5集合栈计算机 类似。

1简单

2.有两种做法：

http://baoby2000.blog.163.com/blog/static/19973991201282491226645/

http://blog.sina.com.cn/s/blog_62d8450c0100x138.html个人比较青睐此种。

思考过程如图所示：

答案：12

找到第3种做法：http://www.docin.com/p-501877626.html

2难

3.题意有些难懂：是指在数字尽可能取小，n尽可能长的情况下，符合题意的最大n值。

位置  1 2 3 4 5 6 7 8  9   10 11 12 13 14 15 16 17
数值  1 1 1 1 1 1 1 1 (10) 1  1  1  1  1  1  1  1
前缀和1 2 3 4 5 6 7 8  18  19 20 21 22 23 24 25 26

位置9取值是10的原因是，起刁难作用，让数组元素前缀和尽量的达不到9.
有因为，总的前缀和是32,故位置9的最小取值是10.

位置10开始，都用尽可能小的正数，故1最理想。
可以设置数据到数组的第17位元素，此时还是无法打成某段前缀和是9.

和是32,前17位已经用去了26，还剩下6,故第18位可以获得的数据是1,2,3,4,5,6

若第18位数值是1,
位置10 11 12 13 14 15 16 17 18
数值1  1  1  1  1  1  1  1  1
位置10到位置18可以构成和值为1+1+1+1+1+1+1+1+1=9.


若第18位数值是2,
位置11 12 13 14 15 16 17 18
数值1  1  1  1  1  1  1  2
位置11到位置18可以构成和值为1+1+1+1+1+1+1+2=9.

若第18位数值是3,
位置12 13 14 15 16 17 18
数值1  1  1  1  1  1  3
位置11到位置18可以构成和值为1+1+1+1+1+1+3=9.

若第18位数值是4,
位置13 14 15 16 17 18
数值1  1  1  1  1  4
位置11到位置18可以构成和值为1+1+1+1+1+4=9.


若第18位数值是5,
位置14 15 16 17 18
数值1  1  1  1  5
位置11到位置18可以构成和值为1+1+1+1+5=9.

若第18位数值是6,
位置15 16 17 18
数值1  1  1  6
位置11到位置18可以构成和值为1+1+1+6=9.

很明显，在极端条件下，符合题意的n值，是18.

3.解析来自：http://www.docin.com/p-501877626.html

3难

 

2.第十七届(NOIP2011)

问题：

 

1.平面图是可以画在在平面上，且它的边仅在顶点上才能相交的简单无向图。4个顶点的平面图至多有6条边，如右图所示。那么，5个顶点的平面图至多有______条边。

2.定义一种字符串操作，一次可以将其中一个元素移到任意位置。举例说明，对于字符串”BcA”，可以将A移到B之前，变成字符串”ABC”。如果要将字符串”DACHEBGIF”变成”ABCDEFGHI”，最少需要________次操作。

问题解答：

 

1.5个顶点，无向图边数C(5,2)=10。该题不可能有这么简单，5分一道，重读题目，发现：它的边仅在顶点上才能相交的简单无向图。直接手工画，因为答案最多10条边，画出如下图：

 

答案：9

2.

该题读下来，有诸多的想法，故例子能举的字符再多点，更好，如果读懂题意，该题不难，该题难在读懂出题人意图。

如图所示，需要移动的有DHBF，故答案为4

还可以考虑其它情况，但上述情况移动次数最少。

 

3.第十八届(NOIP2012)

问题：

1. 本题中，我们约定布尔表达式只能包含p,q,r三个布尔变量，以及“与“（^）、”或“（v）、”非“（~）三种布尔运算。如果无论p,q,r如何取值，两个布尔表达式的值总是相同，则称它们等价。例如，(pVq)Vr和pV(qVr)等价，pV~p和~qVq也等价，而pVq和p^q不等价。那么，两两不等价的布尔表达式最多有_______个。

 

2.对于一棵二叉树，独立集是指两两互不相邻的节点构成的集合。例如图1有5个不同的独立集（1个双点集合，3个单点集合，1个空集），图2有14个不同的独立集，那么，图3有_____________个不同的独立集。

问题解答：

1.来自：http://www.091edu.com/news/view/id/293

对于p、q、r三个变量，每个变量可取0,1两种取值，共有8种组合。

             对于每种组合，代入表达式只有0和1两种答案。

             因此两两不等价的表达式只有2^8=256种。

画图理解如上。

1难 难在理解，排列组合。

2.来自：http://www.091edu.com/news/view/id/293

设 m(i)为以i个为根结点的树的独立集总个数

        f(i)为选i的总个数

        g(i)表示不选i的总个数，显然有

                 m(i)=f(i)+g(i)

 

对于二叉树，

如果根节点选，则儿子节点不能选，有

         f(i)=g(left_child[i])*g(right_child[i])

如果根节点不选，则解与根节点无关，直接为左右儿子的解相乘，有 

         g(i)=m(left_child[i])*m(right_child[i])

 

具体用动态规划求解如下（计算的时候是从下往上算，这里设树的节点总数为根节点编号），显然该题就是求m(17)，

m(17)=f(17)+g(17)=1936+3600=5536

f(17)=g(8)*g(8)=44*44=1936

g(17)=m(8)*m(8)=60*60=3600

m(8) =f(8)+g(8)=16+44=60

f(8)=g(1)*g(6)=1*16=16
g(8)=m(1)*m(6)=2*22=44

m(6)=f(6)+g(6)=6+16=22

f(6)=g(1)*g(4)=1*6=6
g(6)=m(1)*m(4)=2*8=16

m(4)=f(4)+g(4)=2+6=8

f(4)=g(1)*g(2)=1*2=2
g(4)=m(1)*m(2)=2*3=6

m(2)=f(2)+g(2)=3

f(2)=g(1)=1
g(2)=m(1)=2

m(1)=2
f(1)=1
g(1)=1

 

 

 

 

4.第十九届(NOIP2013)

问题：

 

1. 某系统自称使用了一种防窃听的方式验证用户密码。密码是 n 个数 s1, s2, …, sn，均为 0

或 1。该系统每次随机生成 n 个数 a1, a2, …, an，均为 0 或 1，请用户回答(s1a1 +s2a2 + …

+ snan)除以 2 的余数。如果多次的回答总是正确，即认为掌握密码。该系统认为，即使 问答的过程被泄露，也无助于破解密码——因为用户并没有直接发送密码。

然而，事与愿违。例如，当 n = 4 时，有人窃听了以下 5 次问答：

 

问答编号	系统生成的 n 个数				掌握密码的用户的回答
	a1	a2	a3	a4
1	1	1	0	0	1
2	0	0	1	1	0
3	0	1	1	0	0
4	1	1	1	0	0
5	1	0	0	0	0

就破解出了密码 s1 =                  ，s2 =                  ，s3 =                 ，s4 =                   。

 

2.

现有一只青蛙，初始时在 n 号荷叶上。当它某一时刻在 k 号荷叶上时，下一时刻将等概 率地随机跳到 1, 2, …,k号荷叶之一上，直至跳到 1 号荷叶为止。当n= 2 时，平均一共 跳 2 次；当 n = 3 时，平均一共跳 2.5 次。则当n = 5 时，平均一共跳          次。

 

问题解答：

 

 

1.此题比较简单，答案：0 1 1 1

 

2.一直在想n=3，第1次跳到2，2跳到1，2，3的情况，在网上搜了半天，再重新看题，才发现自己题目看错了。

正解：n=3，第1次跳到2，2只能跳到1,2。当它某一时刻在 k 号荷叶上时，下一时刻将等概 率地随机跳到 1, 2, …,k号荷叶之一上。

此题不复杂：

n=2，初始时在2上

跳1次，可能到1，也可能到2

f(2)=1+(f(1)+f(2))/2 一直在1上纠缠了很长时间，1是指跳1次。

f(2)=2

 

 

n=3，初始时在3上

跳1次，可能到1，2，3

f(3)=1+(f(1)+f(2)+1+f(3))/3

f(3)=2.5

 

 

n=4，初始时在4上

跳1次，可能到1，2，3，4

f(4)=1+(f(1)+f(2)+f(3)+f(4))/4

f(4)=17/6

 

 

n=5，初始时在5上

跳1次，可能到1，2，3，4，5

f(5)=1+(f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5))/5

f(5)=37/12

答案：37/12

http://www.docin.com/p-963170477.html解法比较详细

 

5.第二十届(NOIP2014)

问题：

1.由数字1,1,2,4,8,8所组成的不同的四位数的个数是                 。

 

2.如图所示，图中每条边上的数字表示该边的长度，则从A到E的最短距离是                 。

 

问题解答：

 

1.

 

 

2.

 

 

6.第二十一届(NOIP2015)

问题：

1.在1和2015之间（包括1和2015在内）不能被4、5、6三个数任意一个数整除的数有               个。

 

2.结点数为5的不同形态的二叉树一共有               种。（结点数为2的二叉树一共有2种：一种是根节点和左儿子，另一种是根节点和右儿子。）

 

 

问题解答：

1.答案1075

容斥原理

2015-2015/4-2015/5-2015/6+2015/20+2015/12+2015/30-2015/60=1075

容斥原理不懂的，建议学习此文https://blog.youkuaiyun.com/mrcrack/article/details/80562324第16讲内容：第6章 容斥原理及应用

2019-2-15 22:55