2. 最大公约数，最小公倍数，拓展欧几里得

最大公约数（Greatest Common Divisor）

引题：
输入两个自然数x、y，求它们的最大公约数。
对于两个整数x和y，如果x/d个y/余数都为0，则d称为x和y的公约数，其中最大的称为x和y的最大公约数（Greatest Common Divisor）。举个例子，35和14的最大公约数gcd(35,14)为7.因为35的约数为{1，5，7，35}，14的约数为{1，2，7，14}，二者的公约数{1，7}中最大的是7。

输入：输入x、y，用1个空格隔开，占1行。
输出：输出最大公约数，占1行。
限制：$1<=x,y<=10^9$
提示：对于整数x、y，如果x>=y，则x与y的最大公约数等于y与x%y的最大公约数。这里x%y表示x除以y之后的余数。
输入示例：147 105
输出实例：21

1. 初学者的思维：

将x和y中较小的一方用作n，让d从n自减至1，检查其是否能同时整除x和y，如果能返回当时的d。
伪代码：

gcd(x,y)
	n = (x与y中较小的一个)
	for d从n到1
		if d是x和y的约数
			return d

这个算法虽然能正确地输出结果，但最坏情况下要进行n次除法，无法在规定时间内处理完较大的数据。

2. 欧几里得算法（Euclidean algorithm，辗转相除法）

定理：当x>=y时，gcd(x,y)等于gcd(y,x除以y之后的余数)。
运用这条定理，可以快速求解x与y最大公约数的算法。

3. 定理证明

设d为a和b的公约数，则有：（l，m为常数）
$a=l\ast d$………………………………（1）
$b=m\ast d$………………………………（2）
设r=a%b，则有：（k为常数）
$a=k\ast b+r$……………………………（3）
将（1）（2）代入（3）得：
$l\ast d=k\ast m\ast d+r$
上式化简得：
$r=(l-k\ast m)\ast d$……………………（4）
所以由（4）易得：d为r的约数。
又由（2）易得：d为b的约数。
综上两点，易得：d为b和r的公约数。
即证明：a与b的公约数，与，b和r（r=a%b）的公约数相等。
因此，a和b的公约数集合等于b和r的公约数集合，二者的最大公约数自然也相等。

4. 举例and时间复杂度

74与54的最大公约数：
$$\begin{gathered} gcd(74,54) \\ =gcd(54,74\%54)=gcd(54,20) \\ =gcd(20,54\%20)=gcd(20,14) \\ =gcd(14,20\%14)=gcd(14,6) \\ =gcd(6,14\%6)=gcd(6,2) \\ =gcd(2,6\%2)=gcd(2,0) \\ =2 \end{gathered}$$
时间复杂度大致为O(logb)。

5. 用递归函数求最大公约数

#include <iostream>
using namespace std;

int gcd(int x,int y)
{
	return y ? gcd(y,x%y) : x;
}

int main()
{
	int a,b;
	cin >> a >> b;
	cout << gcd(a,b) << endl;
}

6. 用循环求最大公约数

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

int gcd(int x,int y)
{
	int r;
	if(x<y) swap(x,y);//保证x>y
	while(y>0)
	{
		r = x%y;
		x = y;
		y = r;
	}
	return x;
}

int main()
{
	int a,b;
	cin >> a >> b;
	cout << gcd(a,b) << endl;
}

最小公倍数（Least Common Multiple，LCM）

1. 求最小公倍数的公式

求给定n个整数的最小公倍数（Least Common Multiple，LCM）。这里可以先用欧几里得算法求出最大公约数，然后用最大公约数求出两个数的最小公倍数。

公式：
已知：
gcd(a, b)，是求a和b的最大公约数
lcm(a, b)，是求a和b的最小公倍数

易得：
$a\ast b=gcd(a,b)\ast lcm(a,b)$
即 $lcm(a,b)=a\ast b/gcd(a,b)$
(注意，这样写法有可能会错，因为a * b可能因为太大 超出int 或者超出 long long)
所以推荐写成 ： $lcm(a,b)=a/gcd(a,b)\ast b$

2. 公式证明

1. 求a和b的$gcd(a,b)$
2. 易得$\frac{a}{gcd(a,b)}$ 和 $\frac{b}{gcd(a,b)}$ 这两个数互质，即$gcd(\frac{a}{gcd(a,b)},\frac{b}{gcd(a,b)})=1$
3. 所以，易知$lcm(a,b)=gcd(a,b)\ast (\frac{a}{gcd(a,b)})\ast (\frac{b}{gcd(a,b)})$，
   化简：$lcm(a,b)=\frac{a\ast b}{gcd(a,b)}$，
   即$a\ast b=gcd(a,b)\ast lcm(a,b)$

3. 公式拓展

$gcd(ka,kb)=k\ast gcd(a,b)$

$lcm(ka,kb)=k\ast lcm(a,b)$

$lcm(\frac{S}{a},\frac{S}{b})=\frac{S}{gcd(a,b)}$

拓展欧几里得（Extended Euclid Algorithm）

任务：
对于给定的两个整数$a、b$，求$ax+by=gcd(a,b)$的解$(x,y)$。

说明：

1. 当b=0时，有x=1，y=0时成立。

2. 当b>0时，在欧几里得算法的基础上，已知：$gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)$
   先递归求出x’，y’满足：$gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)=b{x}^{\prime }+(a\%b)y^{\prime }$

3. 然后可以回推，我们将上式化简得：
   $gcd(a,b)=b{x}^{\prime }+(a\%b)y^{\prime }=b{x}^{\prime }+(a-\lfloor a/b\rfloor \ast b)y^{\prime }$
   $gcd(a,b)=b{x}^{\prime }+a{y}^{\prime }-\lfloor a/b\rfloor \ast b{y}^{\prime }$
   其中，$\lfloor a/b\rfloor$除法指整除。

4. 把含b的因式提取一个b，可得：
   $gcd(a,b)=a{y}^{\prime }+b(x^{\prime }-\lfloor a/b\rfloor \ast y^{\prime })$
   又已知：$gcd(a,b)=ax+by$
   故$x=y^{\prime }$，$y=x^{\prime }-\lfloor a/b\rfloor \ast y^{\prime }$

5. 上述思想是递归定义的，不断地利用gcd(a,b) =gcd(b,a%b)，到b=0（y的系数为0）时，有x=1、y=0时成立。

6. 再根据公式$gcd(b,a\%b)=gcd(a,b)$不断回推，并且每次回推因此，其对应的x，y值都要按$x=y^{\prime }$，$y=x^{\prime }-\lfloor a/b\rfloor \ast y^{\prime }$的关系做改变。根据解之间的关系，最终可以得到方程$ax+by=gcd(a,b)$的解。

接口：
int extend_gcd(int a,int b,int &x,int &y);
复杂度：O(logN)，其中N和a，b同阶
输入：a，b两个整数
输出：a和b的最大公约数和ax+by=gcd(a,b)的一组解(x,y)

核心代码：（好理解，但代码麻烦版）

int extend_gcd( int a, int b, int &x, int &y )//函数返回a,b的最大公约数
{
	if( b==0 )
	{
		x = 1;
		y = 0;
		return a;
	}
	else
	{
		int r = extend_gcd(b,a%b,x,y);
		int temp_x=x, temp_y=y;//这里的x,y已经是被上一行代码修改过的x,y（因为传参是传的x,y的引用）
							   //temp_x,temp_y分别对应“说明”的x',y'
		x = temp_y;//对应“说明”荧光部分的 x=y'
		y = temp_x-(a/b)*temp_y;//对应“说明”荧光部分的 y=x'-a/b*y'
		return r;
	}
}

核心代码：（优化版）

int extend_gcd( int a, int b, int &x, int &y )//函数返回a,b的最大公约数
{
	if( b==0 )
	{
		x = 1;
		y = 0;
		return a;
	}
	else
	{
		int r = extend_gcd(b,a%b,y,x);
		y -= x*(a/b);
		return r;
	}
}