A*搜索 - 八数码问题

最新推荐文章于 2025-04-02 19:48:04 发布

原创

最新推荐文章于 2025-04-02 19:48:04 发布 · 1.2k 阅读

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本文介绍了八数码问题的解决方案，通过问题抽象、图的宽度优先搜索和A*搜索策略，详细阐述如何找到从初始状态到归位状态的路径。A*搜索结合评估函数，提高搜索效率，实现快速求解有解问题，但对无解问题可能需要遍历大量节点，导致运行时间较长。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

问题描述

八数码问题，简单地来描述是这样的：在一个九宫格内，填有1、2、3、4、5、6、7、8，八个阿拉伯数字，有一个格子为空白。就下面这样，这是一个没有归位的九宫格。

1	2	3
7		8
4	6	5

（未归位的九宫格）

对于上面这个九宫格，我们要通过移动数字来使之归位，每次移动都只能是与空白格相邻的数字移到空白格里面。最终得到归位的九宫格应该是像下面这样的。

1	2	3
8		4
7	6	5

（已归位的九宫格）

我们的目标是，给出一种初始状态，如果有解的话，就把移动的步骤记录（或者输出）下来。值得注意的是，有的初始状态，是无论如何都没有办法使九宫格归位的。

解题思路

问题抽象

对于这个问题，我们不妨这样来看：每一种状态，最多有四种移动方式，也就是说，一种状态最多可以衍生出四种子状态。我们把问题的整体看成一个图，一个状态是图中的一个节点，每个节点生成的自节点由一条有向边来指向。图中总有一个节点的状态是我们要的归位状态，我们要做的就是找到初始节点（即初状态）到这个归位节点的路径。

图的宽度优先搜索

为了找到我们要的路径，我们可以使用宽度优先搜索。我们需要三样东西：集合close，用于保存访问过的节点。集合open，用于保存待访问的节点。每次访问一个节点，就会产生子节点，那么有如下三种情况：

如果子节点存在于open中，就把该子节点的深度与open中的那个进行对比，若该子节点的深度较小，就替换。
如果子节点存在于close中，就把该子节点的深度与close中的那个进行对比，若该子节点的深度较小，就替换，并且该子节点的所有后代节点深度都要进行修改。（但是在该问题的A*搜索算法中，我们可以不用考虑这件事。把弱遇到子节点存在于close中的情况，直接将其扔掉就可以了）
如果子节点不在open中，也不在close，那么将该节点加入到open中等待访问。

如此进行下去，一直到找到我们想要的节点（说明有解），或者open变为空为止（说明无解）。

A*搜索

如果问题有解的话，有没有什么办法可以让我们的搜索变得更快呢？
有，我们可以设置一个评估函数F(n) = G(n) + H(n)，G(n)给出的是节点的深度。H(n)它给出的是当前状态下将所有数字归位所需的最小步数。每次要从open中取出一个节点的时候，按照F(n)给节点拍一个序，然后选取函数值最小的节点。评估函数H(n)所给出的步数，比实际让九宫格归位所需的步数要少，所以这种启发式搜索叫做A*搜索。

代码实现

我们使用一个整数表示一种状态，整数中的每一位对应了九宫格中的一位，这样可以缩减比较九宫格是否一样所使用的时间。
比如九宫格：

1	2	3
7	8
6	5	4

被表示为整数123780654。

数据结构

每一个节点里面的信息包含：
state:当前的状态、
prev:父节点的指针、
next:一个存放子节点指针的向量、
cost:H(n)的函数值、
zeropos:空白格子的位置、
depth:节点深度。

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
using namespace std;

#ifndef NODE_H
#define NODE_H
struct Node{
    int state;
    Node* prev;
    vector<Node*> next;
    int cost;
    int zeropos;
    int dept;
};
#endif

`change`函数

输入一个状态，以及空白格子的位置，以及空白格子的移动方向，如果移动方向合法，就可以产生子状态，否则返回-1.

int change(int state,int zeropos,int direction){
    int ansstate = 0;
    int usestate = state;
    int zerorow = (zeropos-1)/3;
    int zerocol = (zeropos-1)%3;
    in