【线段树】区间求和(不带修改)

本文介绍了一种使用线段树进行区间求和的方法,包括线段树的构建过程和区间查询的具体实现。通过一个具体的例子展示了如何利用线段树高效地解决区间求和问题。
#include<iostream>
#include<cstdio>

using namespace std;

int n,m,a[100004];
struct data{int l,r,val;}tr[2*100004];

void build(int k,int s,int t) {//建树
    tr[k].l=s;tr[k].r=t;
    if(s==t) {tr[k].val=a[s];return;}
    int mid=(s+t)>>1;
    build(k<<1,s,mid);
    build(k<<1|1,mid+1,t);
    tr[k].val=tr[k<<1].val+tr[k<<1|1].val;
}

int ask1(int k,int x,int y){//区间求和
    int ll=tr[k].l,rr=tr[k].r;
    if(x==ll && y==rr) return tr[k].val;
    int mid=(ll+rr)>>1; 
    if(y<=mid) return ask1(k<<1,x,y);
    else if(x>mid) return ask1(k<<1|1,x,y);
    else return ask1(k<<1,x,mid)+ask1(k<<1|1,mid+1,y);
}

int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
    build(1,1,n);
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int x,y;scanf("%d%d",&x,&y);
        printf("%d\n",ask1(1,x,y));
    }
    return 0;
}

样例输入:
8 3
5 12 7 11 3 9 28 4
1 3
2 4
6 6

样例输出:
24
30
9

<think>嗯,用户现在想了解线段树的概念和用途,以及数据结构定义。我之前已经回答过关于懒标记的问题,现在需要根据用户提供的引用内容来组织回答。首先,我需要明确用户的需求:他们可能刚开始学习线段树,需要基础的定义、结构、用途以及示例。首先,引用[1]提到了线段树的结构体定义,包括左边界l、右边界r和值val,这应该作为线段树的数据结构定义部分。引用[2]介绍了权值线段树,但用户现在的问题更基础,可能暂时需要深入权值线段树,但可以简要提及作为扩展。接下来,我需要解释线段树的基本概念,比如它是一种二叉树,用于处理区间查询和修改。然后,结构定义部分要详细说明每个节点的结构,如存储的区间范围[l,r]和对应的值val,可能还要提到建树的过程,比如递归构建左右子树。在用途方面,需要列举常见的应用场景,比如区间求和、最值、区间修改等,并举例说明。比如,区间求和可以用线段树高效处理,每次操作的时间复杂度是O(log n)。同时,可以提到懒标记技术,之前的问题已经涉及,这里可以简单过,但强调其优化作用。示例代码部分,用户之前提供了Python的线段树实现,但根据引用[1]的结构体定义,可能需要用类似C++的结构体来展示,但用户可能希望看到具体的代码示例。需要注意代码的注释和结构,确保清晰易懂。另外,用户可能对线段树的构建、修改和查询操作的具体步骤感兴趣,需要分步骤解释。比如,建树是递归划分区间,直到叶子节点;修改操作可能分为单点修改区间修改,而查询则是递归覆盖目标区间。 最后,生成相关问题需要考虑用户可能的后续问题,比如线段树与其他数据结构的比较、同应用场景下的变种(如权值线段树)、性能分析等。需要确保问题与当前内容相关,引导用户深入理解。还需要注意系统指令中的LaTeX格式,数学表达式要用$...$或$$...$$,比如时间复杂度O(log n)要写成$O(\log n)$。同时,引用标注要正确,引用[1]和引用[2]分别在适当的地方提及,比如结构体定义引用[1],权值线段树引用[2]。 需要检查回答的结构是否清晰,是否覆盖了定义、结构、用途、示例和相关问题,避免遗漏关键点。同时,语言要简洁明了,适合刚接触线段树的学习者理解。</think>### 线段树的概念与定义 线段树(Segment Tree)是一种基于二叉树结构的**高效区间操作数据结构**,主要用于处理数组的**区间查询**和**区间修改**操作。其核心思想是将区间递归划分为子区间,每个树节点存储特定区间的统计信息(如总和、最大值等),实现$O(\log n)$时间复杂度的操作[^1]。 #### 数据结构定义 线段树的典型节点结构包含以下字段: ```cpp struct Node { int l, r; // 节点管理的区间范围 [l, r] int val; // 维护的区间信息(如总和、最大值等) } tr[N * 4]; // 通常分配4倍原数组大小的空间[^1] ``` ### 线段树的用途 线段树广泛应用于以下场景: 1. **区间查询**:快速计算区间和、最大值、最小值等,时间复杂度$O(\log n)$ 2. **区间修改**:支持区间加法、区间赋值等操作,结合懒标记技术优化至$O(\log n)$[^1] 3. **动态维护数据**:实时处理数据流中的区间统计需求 4. **特殊变种**:如权值线段树用于统计数值出现频率[^2] --- ### 线段树的实现原理 #### 1. 建树(Build) 通过递归将区间$[1, n]$逐层二分,直到叶子节点对应单个元素。例如区间求和线段树的建树过程: $$ \text{父节点值} = \text{左子节点值} + \text{右子节点值} $$ ```python def build(k, l, r): if l == r: tr[k].val = arr[l] return mid = (l + r) // 2 build(2*k, l, mid) build(2*k+1, mid+1, r) tr[k].val = tr[2*k].val + tr[2*k+1].val # pushup操作[^1] ``` #### 2. 区间查询(Query) 递归检查查询区间$[ql, qr]$与当前节点区间$[l, r]$的关系: - **完全覆盖**:直接返回节点值 - **部分覆盖**:递归查询左右子树 ```python def query(k, l, r, ql, qr): if ql <= l and r <= qr: return tr[k].val res = 0 mid = (l + r) // 2 if ql <= mid: res += query(2*k, l, mid, ql, qr) if qr > mid: res += query(2*k+1, mid+1, r, ql, qr) return res ``` #### 3. 区间修改(Update) 以区间加法为例,结合懒标记实现高效修改: ```python def update(k, l, r, ul, ur, val): if ul <= l and r <= ur: tr[k].val += (r - l + 1) * val tr[k].lazy += val # 设置懒标记 return pushdown(k) # 下传懒标记 mid = (l + r) // 2 if ul <= mid: update(2*k, l, mid, ul, ur, val) if ur > mid: update(2*k+1, mid+1, r, ul, ur, val) tr[k].val = tr[2*k].val + tr[2*k+1].val ``` --- ### 应用示例 假设需要实时统计网站每小时的访问量,并支持以下操作: 1. 查询任意时间段内的总访问量 2. 对某时间段内的访问量批量增加 使用线段树可实现两类操作的时间复杂度均为$O(\log 24) \approx 5$次节点访问,显著优于暴力方法的$O(n)$。 --- ### 相关问题 1. 线段树与树状数组在区间操作上有哪些性能差异? 2. 如何通过线段树实现区间最值查询? 3. 权值线段树如何解决元素频率统计问题?[^2] 4. 线段树的空间复杂度为什么通常需要$4n$的存储空间? 5. 如何处理线段树区间修改时的溢出问题?
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