已知对偶问题表达式:
L(W,b,a) = 1/2 * ||W||^2 + Sum{ai * (1 - yi(WT * Xi + b)) }
极值点处:
W = Sum{ ai * yi * Xi }
0 = Sum{ai * yi}
带入表达式:
L(W,b,a) = 1/2 * ||W||^2 + Sum{ai * (1 - yi(WT * Xi + b)) }
L(W,b,a) = 1/2 * || Sum{ ai * yi * Xi } ||^2 + Sum{ ai } - Sum{ ai * yi * WT * Xi } - Sum{ ai * yi * b }
L(W,b,a) = 1/2 * || Sum{ ai * yi * Xi } ||^2 + Sum{ ai } - Sum{ ai * yi * WTXi }
L(W,b,a) = 1/2 * || Sum{ ai * yi * Xi } ||^2 + Sum{ ai } - Sum{ ai * yi * WTXi }
L(W,b,a) = 1/2 * || Sum{ ai * yi * Xi } ||^2 + Sum{ ai } - Sum{ ai * yi * (Sum{aj * yj * Xj})T * Xi }
L(W,b,a) = 1/2 * || Sum{ ai * yi * Xi } ||^2 + Sum{ ai } - Sum{ Sum{ ai * yi * aj * yj * XiT * Xj } }
其中:
1/2 * || Sum{ ai * yi * Xi } ||^2 = 1/2 * Sum{ Sum{ ai * yi * aj * yj * XiT * Xj } }
(由二范数展开可以轻易看出)
所以:
L(W,b,a) = Sum{ ai } - 1/2 * Sum{ Sum{ ai * yi * aj * yj * XiT * Xj } }