数学：SVM(6)对偶问题极值点带入

最新推荐文章于 2024-04-29 19:49:11 发布

ShellDawn

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文章标签： SVM 对偶问题

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/ShellDawn/article/details/88172216

本文详细解析了对偶问题的数学表达式及其求解过程。通过将原始问题转化为对偶问题，利用拉格朗日乘子法，推导出了极值点条件下的W和b的表达式，并进一步简化了目标函数L(W,b,a)。最终得到的对偶问题形式为：L(W,b,a)=Sum{ai}

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已知对偶问题表达式：
L(W,b,a) = 1/2 * ||W||^2 + Sum{ai * (1 - yi(WT * Xi + b)) }
极值点处：
W = Sum{ ai * yi * Xi }
0 = Sum{ai * yi}

带入表达式：

L(W,b,a) = 1/2 * ||W||^2 + Sum{ai * (1 - yi(WT * Xi + b)) }

L(W,b,a) = 1/2 * || Sum{ ai * yi * Xi } ||^2 + Sum{ ai } - Sum{ ai * yi * WT * Xi } - Sum{ ai * yi * b }

L(W,b,a) = 1/2 * || Sum{ ai * yi * Xi } ||^2 + Sum{ ai } - Sum{ ai * yi * WTXi }

L(W,b,a) = 1/2 * || Sum{ ai * yi * Xi } ||^2 + Sum{ ai } - Sum{ ai * yi * (Sum{aj * yj * Xj})T * Xi }

L(W,b,a) = 1/2 * || Sum{ ai * yi * Xi } ||^2 + Sum{ ai } - Sum{ Sum{ ai * yi * aj * yj * XiT * Xj } }

其中：
1/2 * || Sum{ ai * yi * Xi } ||^2 = 1/2 * Sum{ Sum{ ai * yi * aj * yj * XiT * Xj } }
(由二范数展开可以轻易看出)

所以：
L(W,b,a) = Sum{ ai } - 1/2 * Sum{ Sum{ ai * yi * aj * yj * XiT * Xj } }

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