95 跳跃游戏II（Jump Game II）

1 题目

题目：跳跃游戏II（Jump Game II）
描述：给出一个非负整数数组，你最初定位在数组的第一个位置。数组中的每个元素代表你在那个位置可以跳跃的最大长度。你的目标是使用最少的跳跃次数到达数组的最后一个位置，返回最少的跳跃次数值。

lintcode题号——117，难度——medium

样例1：

输入：A = [2,3,1,1,4]
输出：2
解释：到达最后位置的最小跳跃次数是2(从下标0到1跳跃1个距离长度，然后跳跃3个距离长度到最后位置)

2 解决方案

2.1 思路

  使用动态规划的方式解，将状态定义为表示跳到第i个位置需要的最少次数，则在能从j一次跳到i的情况下，跳到i的最少次数 = min(跳动j的最少次数 + 1，上次记录的跳到i的最优值)，理清动态规划的四要素即可解出。

2.2 时间复杂度

  本题动态规划的多重循环是对同一维的下标进行的，相当于在一个耗时n的循环内嵌套了同为耗时n的循环，时间复杂度为O(n^2)。

2.3 空间复杂度

  使用了容量为n的数组，空间复杂度为O(n)。

3 源码

细节：

1. 动态规划的四要素：状态、方程、初始化、答案。（四要素在之前的题目数字三角形¹中有详细介绍）
2. 状态：用dp[i]表示跳到第i个位置需要的最少次数。
3. 方程：在能从j一次跳到i的情况下（dp[j] != INT_MAX && A[j] + j >= i），跳到i的最少次数 = min(跳动j的最少次数 + 1，上次记录的跳动i的最优值)。
4. 初始化：dp[0] = 0，从起点出发，跳到起点需要0次。
5. 答案：跳到最后一个位置的最少次数，即dp[max]。

C++版本：

/**
* @param A: A list of integers
* @return: An integer
*/
int jump(vector<int> &A) {
    // write your code here
    if (A.empty())
    {
        return 0;
    }

    // 状态：dp[i]表示跳到第i个位置需要的最少次数
    vector<int> dp(A.size(), INT_MAX);

    // 初始化：从起点出发，跳到起点需要0次
    dp[0] = 0;

    for (int i = 1; i < dp.size(); i++)
    {
        for (int j = 0; j < i; j++)
        {
            // 方程：在能从j一次跳到i的情况下，跳到i的最少次数 = min(跳动j的最少次数 + 1，上次记录的跳动i的最优值)
            if (dp[j] != INT_MAX && A[j] + j >= i)
            {
                dp[i] = min(dp[j] + 1, dp[i]);
            }
        }
    }

    
    return dp[dp.size() - 1]; // 答案：跳到最后一个位置的最少次数
}

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1. 数字三角形：https://blog.youkuaiyun.com/SeeDoubleU/article/details/124678103 ↩︎