线性筛法求素数

求素数是比较基本的内容，有时候我们会需要打一个素数表。一般如果n比较小我们会使用（%2~sqrtn）这种算法，简单但是时间耗费很多，复杂度是O(n^2)。这里介绍一种筛选求素数法，基本要点是，如果找到一个素数如3，那么就往后筛出所有3的倍数。

一般筛选求素数：

void init()
{
	memset(prim, true, sizeof(prim));
	for (int i = 2; i*i <= maxn; i++)
	{
		if (prim[i])		//如果是素数就把其倍数全删掉
			for (int j = i; i*j <= maxn; j++)//j从i开始可以避免一部分重复
				prim[i*j] = false;
	}
}

这个方法比一般的打表法快，但运算中间有大量重复，如：i=2时，筛除30=2*15，但i=5时，筛除30=5*6，重复的标示了。

void init()
{
	for (int i = 2; i < maxn; i++)
	{
		if (!map[i])
		{
			for (int j = i; j < maxn; j+=i)
				map[j] = map[j / i] + 1; //这样还可以统计i由几个素因子构成
		}
	}
}

线性筛选求素数：

void init()
{
	memset(notprim, false, sizeof(notprim));
	int cnt = 0;
	for (int i = 2; i <= maxn; i++)
	{
		if (!notprim[i]) prim[cnt++] = i;		//如果是素数直接赋值
		for (int j = 0; j < cnt&&i*prim[j] <= maxn; j++)//如果是合数，将前面所有的素数乘当前i筛去
		{
			notprim[i*prim[j]] = true;
			if (i%prim[j] == 0)	//关键处:如果当前合数中出现前面已经出现的素数就跳出
				break;
		}
	}
}

首先要明确，所有合数都可以由素数相乘得到。

所以如果 i 是合数，此时 i 可以表示成递增素数相乘 i=p1*p2*...*pn, pi都是素数（2<=i<=n）， pi<=pj ( i<=j )，p1是最小的系数。
根据“关键处”的定义，当p1==prim[j] 的时候，筛除就终止了，也就是说， 只能筛出不大于p1的质数*i。

我们可以直观地举个例子。i=2*3*5，此时能筛除 2*i ,不能筛除 3*i，如果能筛除3*i 的话，当 i' 等于 i'=3*3*5 时，筛除2*i' 就和前面重复了。

例子：POJ2909

题目要求输入一个数，输出有几种方案，使这个数能等于两个素数相加

15362476

Seasonal

2909

Accepted

212K

0MS

C++

646B

2016-04-07 08:09:05

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<string.h>
#define maxn 2<<14
bool notprim[maxn];
int prim[maxn];

void init()
{
	memset(notprim, false, sizeof(notprim));
	int cnt = 0;
	for (int i = 2; i <= maxn; i++)
	{
		if (!notprim[i]) prim[cnt++] = i;		//如果是素数直接赋值
		for (int j = 0; j < cnt&&i*prim[j] <= maxn; j++)//如果是合数，将前面所有的素数乘当前i筛去
		{
			notprim[i*prim[j]] = true;
			if (i%prim[j] == 0)	//关键处:如果当前合数中出现前面已经出现的素数就跳出
				break;
		}
	}
}

int main()
{
	int n;
	init();
	while (scanf("%d", &n), n)
	{
		int num = 0;
		for (int i = 2; i * 2 <= n; i++)
			if (!notprim[i] && !notprim[n - i])
				num++;
		printf("%d\n", num);
	}
	return 0;
}