洛谷2261 余数求和（数学题）

最新推荐文章于 2024-07-29 16:28:59 发布

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分类专栏：数论文章标签：数论除法分块 ACM

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余数求和（数学题）

题目描述

给出正整数n和k，计算G(n, k)=k mod 1 + k mod 2 + k mod 3 + … + k mod n的值，其中k mod i表示k除以i的余数。例如G(10, 5)=5 mod 1 + 5 mod 2 + 5 mod 3 + 5 mod 4 + 5 mod 5 …… + 5 mod 10=0+1+2+1+0+5+5+5+5+5=29

输入输出格式

输入格式：

两个整数n k

输出格式：

答案

输入输出样例

输入样例#1：

10 5

输出样例#1：

说明

30%: n,k <= 1000

60%: n,k <= 10^6

100% n,k <= 10^9

题解：

根据题目要求写出
$ans=\sum_{i=1}^{n}k \ mod \ i$

因为a mod b 可以表示a-b*⌊a/b⌋

那么
$ans=\sum_{i=1}^{n}k-i*⌊k/l⌋=n*k-\sum_{i=1}^ni*⌊k/l⌋$
⌊k/i⌋这时就可以用除法分块来做，可以参考下https://blog.youkuaiyun.com/healer66/article/details/82561234

我们用样例来打表找规律，发现分别在一定的区域内相等

可见⌊k/t⌋分成了 p 块，我们只需要计算 n×k 减去每一块的和即可。

首先枚举块的左边界 l，并根据左边界和 k 计算出右边界 r。

令 t =⌊k/t⌋，分两种情况讨论

t≠0，则 r = min(⌊k/t⌋,n)；
t=0，则 r = n。

对于⌊k/i⌋相同的一部分，可以用等差数列求和公式来求

假设在相同的一块内⌊k/i⌋=x，把 x 提出来那一块的答案就是x∗(i+i+1+⋯)

里面是差为1的等差数列，所以就可以用等差数列求和公式

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
	long long n, k;
	cin >> n >> k;
	long long ans = n * k;
	for(long long l = 1, r; l <= n; l = r+1) {
		if(k / l == 0)
			r = n;
		else {
			r = min(n, k/(k/l));
		}	
		ans -= (k/l)*(r-l+1)*(l+r) / 2;
	}
	cout << ans << endl;
	
	return 0;
 }