希尔伯特变换分析及应用

概述

希尔伯特变换是信号处理中一种常用的手段。常常用来作为信号的相位调整手段，但每次变换只能相位偏移90°。且希尔伯特变换只能近似应用于窄带信号。对于任意给定$t$时刻，通过希尔伯特变换运算后的结果只能存在一个频率值，即只能处理任何时刻为单一频率的信号。对于一个非平稳的数据序列，希尔伯特变换得到的结果很大程度上失真，所以应用希尔伯特变换要特别谨慎。

正文

数学定义是：

设有一个实函数$X(t)$，其希尔伯特变换记作$\hat{X}(t)$（或记作$H\left[X(t)\right]$）

$\hat{X}(t)=H\left[X(t)\right]=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{X(\tau )}{t-\tau }d\tau$

反变换为：

$X(t)=H^{-1}\left[\hat{X}(t)\right]=-\frac{1}{\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{\hat{X}(\tau )}{t-\tau }d\tau$

与卷积的概念相比较，可以发现，上面的Hilbert变换的表达式实际上就是将原始信号和一个信号做卷积的结果。这个用来卷积的信号就是$h(t)=\frac{1}{\pi t}$

所以对$h(t)$做$FFT$可以得到：

H(jw)=F{h}(w)=−jsgn(w)H(jw)=F\{h\}(w)=-jsgn(w)H(jw)=F{h}(w)=−jsgn(w)

或者

$sgn(w)=\left\{\begin{array}{c}1,w>0\\ 0,w=0\\ -1,w<0\end{array}\right\}$

其中$F$是傅里叶变换，$j$是虚数单位，$w$是频率。

从频域上看，$sgn(w)$即将原始信号的正频率部分乘以$-j$，负频率部分乘以$j$，也就是说，在保持幅度不变的情况下，可以将信号正频率部分相位偏移$-\frac{\pi }{2}$，负频率相位偏移$\frac{\pi }{2}$。

所以希尔伯特转换步骤为：

(1)将原始信号进行傅里叶变换

(2)将转换后的信号分为正频率部分和负频率部分，正频率信号数据**{ 将虚部数据换到实部，将实部数据乘以-1换到虚部}，负频率信号数据{将虚部数据乘以-1换到实部，将实部数据换到虚部}**

(3)将交换后的数据进行傅里叶反变换得到最终结果

如下图所示：

实验结果

本实验基于STM32F429，移植ARM_DSP库，使用实数fft变换函数。

C代码参考：

arm_rfft_fast_init_f32(&S, TEST_LENGTH_SAMPLES);
for(i=0; i<1024; i++)
{
	testInput_f32[i] = sin(2*3.1415926f*50*i/1024);
}
//正变换
ifftFlag = 0; 
arm_rfft_fast_f32(&S, testInput_f32, testOutput_f32, ifftFlag);
for(i=0; i<512; i++)
{
	fft_tmp.real[i] = testOutput_f32[2*i];
	fft_tmp.ima[i] = testOutput_f32[2*i + 1];
}
//hilbert 
for(i=0;i<512;i++)
{
	hilbert_tmp.real[i] = fft_tmp.ima[i];
	hilbert_tmp.ima[i] = -fft_tmp.real[i];
}
for(i=0;i<512;i++)
{
	testInput_f32[2*i] = hilbert_tmp.real[i];
	testInput_f32[2*i + 1] = hilbert_tmp.ima[i];
}
//反变换
ifftFlag = 1;
arm_rfft_fast_f32(&S, testInput_f32, fft_iout, ifftFlag);

由于点数太多，所以仅显示250个点。实验结果如下：

总结

这样就完成了希尔伯特变换在信号处理上的应用。