【洛谷P1351】联合权值-优快云博客

本文探讨了一种图论问题的高效求解方法，通过枚举中间节点转换为点问题，利用公式快速计算联合权值之和及最大联合权值。介绍了如何在O(1)时间内得出答案，并给出了两种特殊情况的处理方式。

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这个题让我们求得是最大联合权值和联合权值之和。

先来讨论较简单的，联合权值之和。

当需要求两个点之间的某些关系时，往往可以将其转化成一个点的问题。

比如这个题，就可以通过枚举中间点，通过一些式子算出答案（如下图）

指出的那一个点，以它为中点的答案之和就是它周围一圈的点所有组合的答案之和，这一点很好想到。

枚举的话是不太好的，如果是一个200000的菊花图，就完美的TLE了。

所以很明显可以O(1)算出来。

一个点的答案，就是（与它相关点的和的平方-平方和）/2。

模拟一下的话：

$(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc;$

$ans=[(a+b+c)^{2}-(a^{2}+b^{2}+c^{2})]/2$

然后？然后就完了啊。

有了这个思路以后，最大值和次大值顺带搞一搞就好了。

要注意有两种情况：

1.当前权值大于这个点范围内的最大值：m2=m1,m1=w;

2.当前权值大于次大值小于最大值：m2=w;

其他的随缘就好了。

（我的代码好朴素啊）

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define maxn 200005
#define mod 10007
using namespace std;
int n,x,y;
int sqr[maxn],sum[maxn],w[maxn],head[maxn];
int max1[maxn],max2[maxn];
struct node{
    int y,nxt;
}e[maxn*2];
int tot=0;
inline void ad(int x,int y){
    ++tot;
    e[tot].y=y;e[tot].nxt=head[x];head[x]=tot;
}
inline void dfs(int u,int fa)
{
    max1[u]=w[fa];
    int y;
    for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt){
        y=e[i].y;
        if(y!=fa){
            if(w[y]>=max1[u]){
                max2[u]=max1[u];
                max1[u]=w[y];
            }
            else if(w[y]<max1[u]&&w[y]>max2[u])max2[u]=w[y];
        }
        sqr[u]=(sqr[u]+(w[y]*w[y])%mod)%mod;
        sum[u]=(sum[u]+w[y])%mod;
        if(y!=fa)dfs(y,u);
    }
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<n;++i){
        scanf("%d%d",&x,&y);
        ad(x,y);ad(y,x);
    }
    for(int i=1;i<=n;++i)
        scanf("%d",&w[i]);
    dfs(1,0);
    int ans=0,ans2=0;
    for(int i=1;i<=n;++i)
        ans=(ans+(sum[i]*sum[i]-sqr[i])%mod)%mod,
        ans2=max(ans2,max1[i]*max2[i]);
    printf("%d %d",ans2,ans);
}