为什么使用对数价格？——从连续时间模型下的利息理论说起

最新推荐文章于 2025-01-20 00:47:40 发布

原创最新推荐文章于 2025-01-20 00:47:40 发布 · 5.2k 阅读

10 ·

CC 4.0 BY-SA版权

量化投资同时被 2 个专栏收录

25 篇文章

订阅专栏

期权

0 篇文章

订阅专栏

本文探讨了在连续时间模型下，对数价格为何成为描述资产价格运动的合理选择。通过对利息强度概念的引入，文章逐步解释了在相对概念前提下，如何从连续时间下的利息理论导出对数价格，并在有效市场假说下，分析了随机变量V服从正态分布的原因。

无论是在形式化的有效市场假说中，还是在期权定价的股价运动微分方程中，我们都可以见到其对于股票的价格都使用的是对数价格，而不是价格本身，那么为何要对做价格取对数处理呢？本文将从连续时间下的利息理论中的概念说起，一步步推导出对数价格的存在原因。本文的总体结论是：由于投资者关注的是相对概念（比如收益率），而非价格本身，因此在相对概念的前提下，引入利息强度，然后在连续时间模型下，导出对数价格。

一、利息强度——连续时间模型下的资产增值能力的衡量方式

二、常值利息强度下的资产函数

三、从利息强度到连续复利

四、连续时间下的价格运动描述

五、有效市场假说下（EMH）的随机变量V服从正态分布

六、绝对价格为何不合理？

一、利息强度——连续时间模型下的资产增值能力的衡量方式

在离散时间情况下，我们可以通过利率来衡量一个产品的增值能力，那么，在连续时间模型下，我们通过什么来衡量一个产品的增值能力呢？直观上，资产的增值能力肯定是一个相对的值，就和离散时间下的利率概念一样，这样才不会受资产本身大小所影响，然后这个指标的定义肯定和时间有关，只有控制住时间变量，一定的增长量才有可比性。基于此，提出了利息强度概念，定义如下。其中a(t)表示财富值随时间变化的函数，Q表示利息强度。

$Q(t)=\frac{a(t)^{'}}{a(t)}=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{a(t+\Delta t)-a(t)}{a(t)\Delta t}$

由上述定义可知，Q(t)表示在时刻t，资产的变化率和该点资产值的比值。资产的变化率表示该点资产绝对值的变化快慢，其跟该点资产值的比值，表示在该点资产相对值的变化快慢。换句话说，Q(t)表示在时刻t，资产保持变化率不变，在单位时间内的实际利率。所以，Q(t)值越大，表示在时刻t，资产的增值能力越强，也即生息能力越强，所以叫利息强度，可以用来衡量在连续时间下，资产的增值能力。

二、常值利息强度下的资产函数

当一个资产随时间的函数的利息强度为常数Q时，那么该函数的形式是怎样的呢？很显然，通过简单的常微分方程知识，忽略指数常数项，我们可以求得资产函数具有如下形式。

$\frac{a(t)^{'}}{a(t)}=Q\rightarrow a(t)=e^{Qt}$

可知，当利息强度为常数时，资产累计函数是一个自然底数e为底数的指数函数。同时对两边取对数，可得如下结果。

$loga(t)=Qt\rightarrow loga(t+1)-loga(t)=Q$

即利息强度Q等于单位时间的对数财富值的差值。

三、从利息强度到连续复利

连续复利是连续时间语境下的计息方式，根据定义，利息强度Q(t)可以表示成在时刻t的瞬时实际利率在单位时间内的累和，如下所示。n倍的瞬时实际利率趋向于Q，所以用Q/n表示小时间区间内的实际利率，单位时间内，共有n个小区间，那么根据复利计算方式，在n趋于无穷大的时候，可以得到下面最右边的结果。该结果和在单位时间内常值利息强度得到的结果是一样的。所以，常值利息强度下的资产增值过程，和连续复利过程是一样的。

$Q=\frac{a(t)^{'}}{a(t)}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{a(t+\frac{1}{n})-a(t)}{\frac{1}{n}\cdot a(t)}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{a(t+\frac{1}{n})-a(t)}{a(t)} \cdot n$

$\rightarrow \frac{Q}{n}=\frac{a(t+\frac{1}{n})-a(t)}{a(t)}$ as $n\rightarrow \infty$ $\rightarrow\lim_{n\rightarrow \infty } (1+\frac{Q}{n})^{n}=e^{Q}$

根据上述Q的定义，即等于单位时间内的瞬时实际利率之和，这也利息理论中的名义利率是类似的，因此，实际上，我们还可以认为Q是连续时间下的名义利率。具体关于名义利率的定义和信息，可以参考笔者的这篇文献《利率、连续复利和利息强度》。

四、连续时间下的价格运动描述

在金融市场，在交易时间，资产价格的变化可以认为是连续的，其每时每刻都受市场信息的影响发生变动，因此，股价运动过程更应该被认为是一个连续时间下的过程，且是一个连续复利过程，因为在较小的时间尺度上，投资者获取的资本利得往往不会立马被出金，而是继续留在资本市场中进行复利运动。所以，资产价格的运动可以通过利息强度来描述，不同的是，由于上述的利息强度是一个常值，而市场中的价格是一个随机变量，因此我们预期资产价格对应的利息强度也是一个随机变量，即其不是一个常值，但是期望为Q。这里的利息强度同时也是名义利率，如果读者对利息强度的概念比较陌生，也可以用名义利率去理解。所以，根据第二部分，我们对价格可以得到如下的形似。其中V表示一个期望为Q的随机变量。

$logP_{t+1}=logP_{t}+V$

五、有效市场假说下（EMH）的随机变量V服从正态分布

根据利息强度定义，其为单位时间内无数个瞬时实际收益率之和；在小区间时间内，资产收益率是一个随机变量，在有效市场假说下，不同时间区间内的收益率是相互独立的，那么根据中心极限定理，V必然服从正态分布，同时，由于是在EMH下，在不考虑货币时间价值（无风险利率）的情况下，V的期望应该是0。因此，就得到了有效市场假说的形式化表达。

$logP_{t+1}=logP_{t}+\varepsilon$ ， $\varepsilon \sim N(0,\sigma ^{2})$

这里的 $\sigma$ 表示单位时间对数收益率的波动率。

六、绝对价格为何不合理？

为何不能直接用价格，而是要用对数价格呢？我们上述对于对数价格的推导是基于利息强度的，根本是在于用了利息强度去描述连续时间下的价格运动过程，而且我们知道这是合理的。但是问题在于，为什么直接用如下形式，即直接用价格描述是不合理的呢？

$P_{t+1}=P_{t}+\varepsilon$

其实价格的一阶差分可以认为是平稳的，而且由于价格的可加性， $\varepsilon$ 也必然是正态分布，这些都没有什么问题。问题在于，这样正太分布中的波动率将表示的是价格差分的波动率，不再是相对概念下的收益率。价格差分是一个绝对概念，波动率对于高价股和低价股，两者具有很大的差别，所以波动率是收价格本身的影响的，不具有普适性。事实上，我们其实并不在意绝对价格，更在意的是不受价格影响的相对概念，比如简单收益率或者对数收益率；对数价格下的波动率就是由对数收益率 $log\frac{P_{t+1}}{P_{t}}$ 计算得到的，这里的对数收益率中的价格的比值就已经剔除了价格本身带来的影响。