Distinct Subsequences

本文介绍了一种计算两个字符串间不同子序列数量的方法。通过一个具体的例子,即在字符串S中寻找字符串T的所有可能子序列出现次数,展示了一种有效算法的实现细节。该算法使用动态规划思想,能够高效地解决问题。

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Distinct Subsequences
Oct 19 '123689 / 10619

Given a string S and a string T, count the number of distinct subsequences of T in S.

A subsequence of a string is a new string which is formed from the original string by deleting some (can be none) of the characters without disturbing the relative positions of the remaining characters. (ie, "ACE" is a subsequence of "ABCDE" while "AEC" is not).

Here is an example:
S = "rabbbit", T = "rabbit"

Return 3.

最长公共子串的变形。大体意思是字串T在S中有几个?

 

class Solution {
public:
    int numDistinct(string S, string T) {
        // Start typing your C/C++ solution below
        // DO NOT write int main() function
        int lenS = S.size();
        if(lenS == 0)
            return 0;
        int lenT = T.size();
        vector<int> ref(lenS, 1);
        vector<int> cur(lenS, 0);
        for(int i = 0; i < lenT; i ++)
        {
            for(int j = 0; j < lenS; j++)
                cur[j] = 0;
            for(int j = i; j < lenS; j ++)
            {
                if(T[i] == S[j])
                {
                    if(j == 0)
                        cur[j] = 1;
                    else
                        cur[j] = ref[j-1] + cur[j-1];
                }
                else
                {
                    if(j == 0)
                        cur[j] = 0;
                    else
                        cur[j] = cur[j-1];
                }
            }
            for(int j = 0; j < lenS; j++)
            {
                ref[j] = cur[j];
            }
        }
        return ref[lenS-1];
    }
};


### 关于回文子序列的算法及其示例 #### 定义与概念 回文是指正读和反读都相同的字符序列。对于给定字符串中的任意字符组合形成的子序列,如果该子序列满足上述条件,则称为回文子序列。 #### 动态规划求解最长回文子序列 为了找到一个字符串中最长的回文子序列,可以采用动态规划的方法来解决这个问题。设 `dp[i][j]` 表示从第 i 到 j 的子串内的最长回文子序列长度: - 当 s[i]==s[j] 时, dp[i][j]=dp[i+1][j−1]+2; - 否则, dp[i][j]=max(dp[i+1][j],dp[i][j−1]). 最终的结果保存在 `dp[0][len(s)-1]` 中[^3]. ```python def longest_palindromic_subseq(s: str) -> int: n = len(s) # 创建二维数组用于存储中间结果 dp = [[0]*n for _ in range(n)] # 初始化单个字符的情况 for i in range(n): dp[i][i] = 1 # 填充表格 for length in range(2, n + 1): for start in range(n - length + 1): end = start + length - 1 if s[start] == s[end]: dp[start][end] = dp[start+1][end-1] + 2 else: dp[start][end] = max(dp[start+1][end], dp[start][end-1]) return dp[0][-1] ``` 此方法的时间复杂度为 O(n²),空间复杂度同样为 O(n²). #### 枚举所有可能的回文子序列 除了寻找最长的回文子序列外,还可以通过枚举的方式找出所有的不同回文子序列。这种方法适用于较短的输入字符串,并且可以通过位掩码技术实现高效的遍历。 ```python from collections import defaultdict def count_distinct_palindrome_subsequences(text: str) -> list[str]: results = set() memo = {} def backtrack(start=0, path=""): nonlocal text, results, memo key = (start, path) if key not in memo: temp_set = {path} if path == path[::-1] else {} for index in range(start, len(text)): new_path = path + text[index] if new_path == new_path[::-1]: temp_set.add(new_path) temp_set |= backtrack(index + 1, new_path) memo[key] = temp_set results.update(memo[(start, path)]) return memo[(start, path)] backtrack() return sorted(list(results)) ``` 这段代码会返回按字典序排列的不同回文子序列列表.
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