ACM算法集2

ACM算法集2
三、背包问题
*
部分背包问题可有贪心法求解:计算Pi/Wi
数据结构:

w[i]:
i个背包的重量;
p[i]:
i个背包的价值;
1
0-1背包: 每个背包只能使用一次或有限次(可转化为一次)
A.
求最多可放入的重量。
NOIP2001
装箱问题
有一个箱子容量为v(正整数,o≤v≤20000),同时有n个物品(o≤n≤30),每个物品有一个体积 (正整数)。要求从 n 个物品中,任取若千个装入箱内,使箱子的剩余空间为最小。

l
搜索方法
procedure search(k,v:integer); {
搜索第k个物品,剩余空间为v}
var i,j:integer;
begin
if v<best then best:=v;
if v-(s[n]-s[k-1])>=best then exit; {s[n]
为前n个物品的重量和
}
if k<=n then begin
if v>w[k] then search(k+1,v-w[k]);
search(k+1,v);
end;
end;
l DP
F[I,j]
为前i个物品中选择若干个放入使其体积正好为j的标志,为布尔型。

实现:将最优化问题转化为判定性问题
f [I, j] = f [ i-1, j-w[i] ] (w[I]<=j<=v)
边界:f[0,0]:=true.
For I:=1 to n do
For j:=w[I] to v do F[I,j]:=f[I-1,j-w[I]];
优化:当前状态只与前一阶段状态有关,可降至一维。

F[0]:=true;
For I:=1 to n do begin
F1:=f;
For j:=w[I] to v do
If f[j-w[I]] then f1[j]:=true;
F:=f1;
End;
B.
求可以放入的最大价值。
F[I,j]
为容量为I时取前j个背包所能获得的最大价值。
F [i,j] = max { f [ i – w [ j ], j-1] + p [ j ], f[ i,j-1] }
C.
求恰好装满的情况数。
DP:
Procedure update;
var j,k:integer;
begin
c:=a;
for j:=0 to n do
if a[j]>0 then
if j+now<=n then inc(c[j+now],a[j]);
a:=c;
end;
2
.可重复背包
A
求最多可放入的重量。
F[I,j]
为前i个物品中选择若干个放入使其体积正好为j的标志,为布尔型。
状态转移方程为
f[I,j] = f [ I-1, j – w[I]*k ] (k=1.. j div w[I])
B.
求可以放入的最大价值。
USACO 1.2 Score Inflation
进行一次竞赛,总时间T固定,有若干种可选择的题目,每种题目可选入的数量不限,每种题目有一个ti(解答此题所需的时间)和一 si(解答此题所得的分数),现要选择若干题目,使解这些题的总时间在T以内的前提下,所得的总分最大,求最大的得分。
*
易想到:
f[i,j] = max { f [i- k*w[j], j-1] + k*p[j] } (0<=k<= i div w[j])
其中f[i,j]表示容量为i时取前j种背包所能达到的最大值。
*
实现:
Begin
FillChar(f,SizeOf(f),0);
For i:=1 To M Do
For j:=1 To N Do
If i-problem[j].time>=0 Then
Begin
t:=problem[j].point+f[i-problem[j].time];
If t>f[i] Then f[i]:=t;
End;
Writeln(f[M]);
End.
C.
求恰好装满的情况数。
Ahoi2001 Problem2
求自然数n本质不同的质数和的表达式的数目。
思路一,生成每个质数的系数的排列,在一一测试,这是通法。
procedure try(dep:integer);
var i,j:integer;
begin
cal; {
此过程计算当前系数的计算结果,now为结果}
if now>n then exit; {
剪枝
}
if dep=l+1 then begin {
生成所有系数
}
cal;
if now=n then inc(tot);
exit;
end;
for i:=0 to n div pr[dep] do begin
xs[dep]:=i;
try(dep+1);
xs[dep]:=0;
end;
end;
思路二,递归搜索效率较高

procedure try(dep,rest:integer);
var i,j,x:integer;
begin
if (rest<=0) or (dep=l+1) then begin
if rest=0 then inc(tot);
exit;
end;
for i:=0 to rest div pr[dep] do
try(dep+1,rest-pr[dep]*i);
end;
{main: try(1,n); }
思路三:可使用动态规划求解
USACO1.2 money system
V
个物品,背包容量为n,求放法总数。
转移方程:

Procedure update;
var j,k:integer;
begin
c:=a;
for j:=0 to n do
if a[j]>0 then
for k:=1 to n div now do
if j+now*k<=n then inc(c[j+now*k],a[j]);
a:=c;
end;
{main}
begin
read(now); {
读入第一个物品的重量}
i:=0; {a[i]
为背包容量为i时的放法总数
}
while i<=n do begin
a[i]:=1; inc(i,now); end; {
定义第一个物品重的整数倍的重量a值为1,作为初值
}
for i:=2 to v do
begin
read(now);
update; {
动态更新
}
end;
writeln(a[n]);
四、排序算法

1.
快速排序:
procedure qsort(l,r:integer);
var i,j,mid:integer;
begin
i:=l;j:=r; mid:=a[(l+r) div 2]; {
将当前序列在中间位置的数定义为中间数}
repeat
while a[i]<mid do inc(i); {
在左半部分寻找比中间数大的数
}
while a[j]>mid do dec(j);{
在右半部分寻找比中间数小的数
}
if i<=j then begin {
若找到一组与排序目标不一致的数对则交换它们
}
swap(a[i],a[j]);
inc(i);dec(j); {
继续找
}
end;
until i>j;
if l<j then qsort(l,j); {
若未到两个数的边界,则递归搜索左右区间
}
if i<r then qsort(i,r);
end;{sort}
B.
插入排序:

思路:当前a[1]..a[i-1]已排好序了,现要插入a[i]使a[1]..a[i]有序。
procedure insert_sort;
var i,j:integer;
begin
for i:=2 to n do begin
a[0]:=a[i];
j:=i-1;
while a[0]<a[j] do begin
a[j+1]:=a[j];
j:=j-1;
end;
a[j+1]:=a[0];
end;
end;{inset_sort}

C.
选择排序:
procedure sort;
var i,j,k:integer;
begin
for i:=1 to n-1 do
for j:=i+1 to n do
if a[i]>a[j] then swap(a[i],a[j]);
end;
D.
冒泡排序
procedure bubble_sort;
var i,j,k:integer;
begin
for i:=1 to n-1 do
for j:=n downto i+1 do
if a[j]<a[j-1] then swap( a[j],a[j-1]); {
每次比较相邻元素的关系}
end;
E.
堆排序:

procedure sift(i,m:integer);{
调整以i为根的子树成为堆,m为结点总数}
var k:integer;
begin
a[0]:=a[i]; k:=2*i;{
在完全二叉树中结点i的左孩子为2*i,右孩子为
2*i+1}
while k<=m do begin
if (k<m) and (a[k]<a[k+1]) then inc(k);{
找出a[k]a[k+1]中较大值
}
if a[0]<a[k] then begin a[i]:=a[k];i:=k;k:=2*i; end
else k:=m+1;
end;
a[i]:=a[0]; {
将根放在合适的位置
}
end;
procedure heapsort;
var
j:integer;
begin
for j:=n div 2 downto 1 do sift(j,n);
for j:=n downto 2 do begin
swap(a[1],a[j]);
sift(1,j-1);
end;
end;
F.
归并排序

{a
为序列表,tmp为辅助数组}
procedure merge(var a:listtype; p,q,r:integer);
{
将已排序好的子序列a[p..q]a[q+1..r]合并为有序的
tmp[p..r]}
var I,j,t:integer;
tmp:listtype;
begin
t:=p;i:=p;j:=q+1;{t
tmp指针,I,j分别为左右子序列的指针
}
while (t<=r) do begin
if (i<=q){
左序列有剩余} and ((j>r) or (a[i]<=a[j])) {满足取左边序列当前元素的要求
}
then begin
tmp[t]:=a[i]; inc(i);
end
else begin
tmp[t]:=a[j];inc(j);
end;
inc(t);
end;
for i:=p to r do a[i]:=tmp[i];
end;{merge}
procedure merge_sort(var a:listtype; p,r: integer); {
合并排序
a[p..r]}
var q:integer;
begin
if p<>r then begin
q:=(p+r-1) div 2;
merge_sort (a,p,q);
merge_sort (a,q+1,r);
merge (a,p,q,r);
end;
end;
{main}
begin
merge_sort(a,1,n);
end.
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