ACM算法集2
三、背包问题
*部分背包问题可有贪心法求解:计算Pi/Wi 数据结构: w[i]:第i个背包的重量; p[i]:第i个背包的价值; 1.0-1背包: 每个背包只能使用一次或有限次(可转化为一次): A.求最多可放入的重量。 NOIP2001 装箱问题 有一个箱子容量为v(正整数,o≤v≤20000),同时有n个物品(o≤n≤30),每个物品有一个体积 (正整数)。要求从 n 个物品中,任取若千个装入箱内,使箱子的剩余空间为最小。 l 搜索方法 procedure search(k,v:integer); {搜索第k个物品,剩余空间为v} var i,j:integer; begin if v<best then best:=v; if v-(s[n]-s[k-1])>=best then exit; {s[n]为前n个物品的重量和} if k<=n then begin if v>w[k] then search(k+1,v-w[k]); search(k+1,v); end; end; l DP F[I,j]为前i个物品中选择若干个放入使其体积正好为j的标志,为布尔型。 实现:将最优化问题转化为判定性问题 f [I, j] = f [ i-1, j-w[i] ] (w[I]<=j<=v) 边界:f[0,0]:=true. For I:=1 to n do For j:=w[I] to v do F[I,j]:=f[I-1,j-w[I]]; 优化:当前状态只与前一阶段状态有关,可降至一维。 F[0]:=true; For I:=1 to n do begin F1:=f; For j:=w[I] to v do If f[j-w[I]] then f1[j]:=true; F:=f1; End; B.求可以放入的最大价值。 F[I,j] 为容量为I时取前j个背包所能获得的最大价值。 F [i,j] = max { f [ i – w [ j ], j-1] + p [ j ], f[ i,j-1] } C.求恰好装满的情况数。 DP: Procedure update; var j,k:integer; begin c:=a; for j:=0 to n do if a[j]>0 then if j+now<=n then inc(c[j+now],a[j]); a:=c; end; 2.可重复背包 A求最多可放入的重量。 F[I,j]为前i个物品中选择若干个放入使其体积正好为j的标志,为布尔型。 状态转移方程为 f[I,j] = f [ I-1, j – w[I]*k ] (k=1.. j div w[I]) B.求可以放入的最大价值。 USACO 1.2 Score Inflation 进行一次竞赛,总时间T固定,有若干种可选择的题目,每种题目可选入的数量不限,每种题目有一个ti(解答此题所需的时间)和一 个si(解答此题所得的分数),现要选择若干题目,使解这些题的总时间在T以内的前提下,所得的总分最大,求最大的得分。 *易想到: f[i,j] = max { f [i- k*w[j], j-1] + k*p[j] } (0<=k<= i div w[j]) 其中f[i,j]表示容量为i时取前j种背包所能达到的最大值。 *实现: Begin FillChar(f,SizeOf(f),0); For i:=1 To M Do For j:=1 To N Do If i-problem[j].time>=0 Then Begin t:=problem[j].point+f[i-problem[j].time]; If t>f[i] Then f[i]:=t; End; Writeln(f[M]); End. C.求恰好装满的情况数。 Ahoi2001 Problem2 求自然数n本质不同的质数和的表达式的数目。 思路一,生成每个质数的系数的排列,在一一测试,这是通法。 procedure try(dep:integer); var i,j:integer; begin cal; {此过程计算当前系数的计算结果,now为结果} if now>n then exit; {剪枝} if dep=l+1 then begin {生成所有系数} cal; if now=n then inc(tot); exit; end; for i:=0 to n div pr[dep] do begin xs[dep]:=i; try(dep+1); xs[dep]:=0; end; end; 思路二,递归搜索效率较高 procedure try(dep,rest:integer); var i,j,x:integer; begin if (rest<=0) or (dep=l+1) then begin if rest=0 then inc(tot); exit; end; for i:=0 to rest div pr[dep] do try(dep+1,rest-pr[dep]*i); end; {main: try(1,n); } 思路三:可使用动态规划求解 USACO1.2 money system V个物品,背包容量为n,求放法总数。 转移方程: Procedure update; var j,k:integer; begin c:=a; for j:=0 to n do if a[j]>0 then for k:=1 to n div now do if j+now*k<=n then inc(c[j+now*k],a[j]); a:=c; end; {main} begin read(now); {读入第一个物品的重量} i:=0; {a[i]为背包容量为i时的放法总数} while i<=n do begin a[i]:=1; inc(i,now); end; {定义第一个物品重的整数倍的重量a值为1,作为初值} for i:=2 to v do begin read(now); update; {动态更新} end; writeln(a[n]); 四、排序算法 1.快速排序: procedure qsort(l,r:integer); var i,j,mid:integer; begin i:=l;j:=r; mid:=a[(l+r) div 2]; {将当前序列在中间位置的数定义为中间数} repeat while a[i]<mid do inc(i); {在左半部分寻找比中间数大的数} while a[j]>mid do dec(j);{在右半部分寻找比中间数小的数} if i<=j then begin {若找到一组与排序目标不一致的数对则交换它们} swap(a[i],a[j]); inc(i);dec(j); {继续找} end; until i>j; if l<j then qsort(l,j); {若未到两个数的边界,则递归搜索左右区间} if i<r then qsort(i,r); end;{sort} B.插入排序: 思路:当前a[1]..a[i-1]已排好序了,现要插入a[i]使a[1]..a[i]有序。 procedure insert_sort; var i,j:integer; begin for i:=2 to n do begin a[0]:=a[i]; j:=i-1; while a[0]<a[j] do begin a[j+1]:=a[j]; j:=j-1; end; a[j+1]:=a[0]; end; end;{inset_sort} C.选择排序: procedure sort; var i,j,k:integer; begin for i:=1 to n-1 do for j:=i+1 to n do if a[i]>a[j] then swap(a[i],a[j]); end; D. 冒泡排序 procedure bubble_sort; var i,j,k:integer; begin for i:=1 to n-1 do for j:=n downto i+1 do if a[j]<a[j-1] then swap( a[j],a[j-1]); {每次比较相邻元素的关系} end; E.堆排序: procedure sift(i,m:integer);{调整以i为根的子树成为堆,m为结点总数} var k:integer; begin a[0]:=a[i]; k:=2*i;{在完全二叉树中结点i的左孩子为2*i,右孩子为2*i+1} while k<=m do begin if (k<m) and (a[k]<a[k+1]) then inc(k);{找出a[k]与a[k+1]中较大值} if a[0]<a[k] then begin a[i]:=a[k];i:=k;k:=2*i; end else k:=m+1; end; a[i]:=a[0]; {将根放在合适的位置} end; procedure heapsort; var j:integer; begin for j:=n div 2 downto 1 do sift(j,n); for j:=n downto 2 do begin swap(a[1],a[j]); sift(1,j-1); end; end; F. 归并排序 {a为序列表,tmp为辅助数组} procedure merge(var a:listtype; p,q,r:integer); {将已排序好的子序列a[p..q]与a[q+1..r]合并为有序的tmp[p..r]} var I,j,t:integer; tmp:listtype; begin t:=p;i:=p;j:=q+1;{t为tmp指针,I,j分别为左右子序列的指针} while (t<=r) do begin if (i<=q){左序列有剩余} and ((j>r) or (a[i]<=a[j])) {满足取左边序列当前元素的要求} then begin tmp[t]:=a[i]; inc(i); end else begin tmp[t]:=a[j];inc(j); end; inc(t); end; for i:=p to r do a[i]:=tmp[i]; end;{merge} procedure merge_sort(var a:listtype; p,r: integer); {合并排序a[p..r]} var q:integer; begin if p<>r then begin q:=(p+r-1) div 2; merge_sort (a,p,q); merge_sort (a,q+1,r); merge (a,p,q,r); end; end; {main} begin merge_sort(a,1,n); end. |